Question Number 93804 by i jagooll last updated on 15/May/20
$$\int\:{x}\:\sqrt[{\mathrm{3}\:\:}]{\frac{\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{2}}}\:{dx}\:?\: \\ $$
Commented by i jagooll last updated on 15/May/20
$$\mathrm{set}\:\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:=\:\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\:\Rightarrow\:\mathrm{xt}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2t}^{\mathrm{3}} =\mathrm{3x}−\mathrm{1}\: \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{2t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}}=\:\frac{−\mathrm{2t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{dx}\:=\:\frac{\mathrm{9t}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dt}\: \\ $$$$\Rightarrow\:\int\:\left(\frac{−\mathrm{2t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}}\right).\mathrm{t}\:\left(\frac{\mathrm{9t}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right)\:\mathrm{dt} \\ $$$$\int\:\frac{−\mathrm{9t}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\right)}\:\mathrm{dt}\: \\ $$$$\mathrm{stuck}??? \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 15/May/20
$${this}\:{integral}\:{is}\:{solved}\:{by}\:{a}\:{lots}\:{of}\:{calculus}\: \\ $$$${I}\:=\int\:{x}\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{\frac{\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{2}}}\right){dx}\:{changement}\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\frac{\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{2}}}={t}\:{give} \\ $$$$\frac{\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{2}}\:={t}^{\mathrm{3}} \:\Rightarrow\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}\:={t}^{\mathrm{3}} {x}+\mathrm{2}{t}^{\mathrm{3}} \:\Rightarrow\left(\mathrm{3}−{t}^{\mathrm{3}} \right){x}\:=\mathrm{2}{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{1}\:\Rightarrow{x}\:=\frac{\mathrm{2}{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{1}}{\mathrm{3}−{t}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\Rightarrow\frac{{dx}}{{dt}}\:=\frac{\mathrm{6}{t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{3}−{t}^{\mathrm{3}} \right)−\left(\mathrm{2}{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{3}{t}^{\mathrm{2}} \right)}{\left(\mathrm{3}−{t}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{18}{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{t}^{\mathrm{5}} \:+\mathrm{6}{t}^{\mathrm{5}} −\mathrm{3}{t}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{3}−{t}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{15}{t}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{3}−{t}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\:{I}\:=\int\:\left(\frac{\mathrm{2}{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{1}}{\mathrm{3}−{t}^{\mathrm{3}} }\right){t}\:\frac{\mathrm{15}{t}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{3}−{t}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} }\:{dt} \\ $$$$=\:\int\:\frac{\mathrm{30}{t}^{\mathrm{5}} \:+\mathrm{15}{t}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{3}−{t}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{3}} }{dt}\:=−\mathrm{15}\int\:\:\frac{\mathrm{2}{t}^{\mathrm{5}} \:+{t}^{\mathrm{2}} }{\left({t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} }{dt}\:\:\:\:\:{let}\:\alpha\:=^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{3}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int\:\:\frac{\mathrm{2}{t}^{\mathrm{5}} \:+{t}^{\mathrm{2}} }{\left({t}^{\mathrm{3}} −\alpha^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{3}} }{dt}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{2}{t}^{\mathrm{5}} \:+{t}^{\mathrm{2}} }{\left({t}−\alpha\right)^{\mathrm{3}} \left({t}^{\mathrm{2}} \:+\alpha{t}\:+\alpha^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{3}} }{dt} \\ $$$$=\int\:\:\frac{\mathrm{2}{t}^{\mathrm{5}} \:+{t}^{\mathrm{2}} }{\left(\frac{{t}−\alpha}{{t}^{\mathrm{2}} \:+\alpha{t}\:+\alpha^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{3}} \:\left({t}^{\mathrm{2}} \:+\alpha{t}\:+\alpha^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{6}} }{dt}\:\:{changement}\:\frac{{t}−\alpha}{{t}^{\mathrm{2}} \:+\alpha{t}\:+\alpha^{\mathrm{2}} }\:={u}\:{give} \\ $$$${t}+\alpha\:={ut}^{\mathrm{2}} \:+{u}\alpha{t}\:+{u}\alpha^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\:{ut}^{\mathrm{2}} \:+{u}\alpha{t}\:−{t}−\alpha+{u}\alpha^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$${ut}^{\mathrm{2}} \:+\left(\alpha{u}−\mathrm{1}\right){t}\:+{u}\alpha^{\mathrm{2}} −\alpha\:=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta\:=\left(\alpha{u}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{u}\left({u}\alpha^{\mathrm{2}} −\alpha\right)\:=\alpha^{\mathrm{2}} {u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\alpha{u}\:−\mathrm{4}\alpha^{\mathrm{2}} {u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\alpha{u} \\ $$$$=−\mathrm{3}\alpha^{\mathrm{2}} {u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\alpha{u}\:\Rightarrow\:{t}\:=\frac{\mathrm{1}−\alpha{u}\overset{−} {+}\sqrt{\mathrm{2}\alpha{u}−\mathrm{3}\alpha^{\mathrm{2}} {u}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}{u}}\:\Rightarrow \\ $$$${t}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{u}}−\frac{\alpha}{\mathrm{2}}\:\overset{−} {+}\frac{\sqrt{\mathrm{2}\alpha{u}−\mathrm{3}\alpha^{\mathrm{2}} {u}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}{u}}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{{dt}}{{du}}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{u}^{\mathrm{2}} }\:\overset{−} {+}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\sqrt{\frac{\mathrm{2}\alpha{u}}{\mathrm{4}{u}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{3}\alpha^{\mathrm{2}} {u}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}{u}^{\mathrm{2}} }}\right)^{'} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{u}^{\mathrm{2}} }\:\overset{−} {+}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\sqrt{\frac{\alpha}{\mathrm{2}{u}}−\frac{\mathrm{3}\alpha^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}}\right)^{'} \:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{u}^{\mathrm{2}} }\:\overset{−} {+}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{−\frac{\alpha}{\mathrm{2}{u}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}\sqrt{\frac{\alpha}{\mathrm{2}{u}}−\frac{\mathrm{3}\alpha^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}}}\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{u}^{\mathrm{2}} }\:\overset{−} {+}\frac{\alpha}{\mathrm{8}{u}^{\mathrm{2}} \sqrt{\frac{\alpha}{\mathrm{2}{u}}−\frac{\mathrm{3}\alpha^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}}}\:\:\:….{be}\:{continued}…. \\ $$$$ \\ $$
Commented by i jagooll last updated on 15/May/20
$$\mathrm{very}\:\mathrm{hard}\:\mathrm{sir}? \\ $$
Answered by MJS last updated on 15/May/20
$$\int{x}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{2}}}{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{2}}}\:\Leftrightarrow\:{x}=−\frac{\mathrm{2}{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}}\:\rightarrow\:{dx}=\frac{\mathrm{21}{t}^{\mathrm{2}} }{\left({t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }{dt}\right] \\ $$$$=−\mathrm{21}\int\frac{{t}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)}{\left({t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} }{dt}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{Ostrogradski}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{7}{t}\left(\mathrm{43}{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{66}\right)}{\mathrm{18}\left({t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{77}}{\mathrm{9}}\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{use}\:\mathrm{this}\:\mathrm{formula}: \\ $$$$\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{3}} −{a}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} }\int\frac{{dt}}{{t}−{a}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} }\int\frac{{t}+\mathrm{2}{a}}{{t}^{\mathrm{2}} +{at}+{a}^{\mathrm{2}} }{dt} \\ $$$$\mathrm{these}\:\mathrm{should}\:\mathrm{be}\:\mathrm{easy}\:\mathrm{to}\:\mathrm{solve} \\ $$
Commented by MJS last updated on 15/May/20
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} }\int\frac{{dt}}{{t}−{a}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{ln}\:\mid{t}−{a}\mid \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} }\int\frac{{t}+\mathrm{2}{a}}{{t}^{\mathrm{2}} +{at}+{a}^{\mathrm{2}} }{dt}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{ln}\:\mid{t}^{\mathrm{2}} +{at}+{a}^{\mathrm{2}} \mid\:−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{arctan}\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\left(\mathrm{2}{t}+{a}\right)}{\mathrm{3}{a}} \\ $$