Question Number 159918 by tounghoungko last updated on 22/Nov/21
$$\:\:{y}\:=\:\mathrm{sin}\:\mathrm{8}{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}\: \\ $$$$\:\:{y}^{\left({n}\right)} \:=? \\ $$
Commented by blackmamba last updated on 22/Nov/21
$$\:\:\:{y}=\:\mathrm{sin}\:\mathrm{8}{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}\:\Rightarrow{y}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{12}{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{4}{x}\right) \\ $$$$\:\:\:{y}\:'=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{12cos}\:\mathrm{12}{x}+\mathrm{4cos}\:\mathrm{4}{x}\right) \\ $$$$\:\:{y}'=\:\mathrm{6}\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{12}{x}+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{2sin}\:\left(\mathrm{4}{x}+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\:\:{y}''=\:\mathrm{72}\:\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{12}{x}+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{8cos}\:\left(\mathrm{4}{x}+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\:\:{y}''=\mathrm{72}\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{12}{x}+\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{8sin}\:\left(\mathrm{4}{x}+\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\:\:{y}'''=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\mathrm{12}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{12}{x}+\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\mathrm{4}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{4}{x}+\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\:\:\vdots \\ $$$$\:\:\:{y}^{\left({n}\right)} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\mathrm{12}^{{n}} \:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{12}{x}+\frac{{n}\pi}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\mathrm{4}^{{n}} \:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{4}{x}+\frac{{n}\pi}{\mathrm{2}}\right)\: \\ $$
Commented by tounghoungko last updated on 22/Nov/21
$$\Rightarrow\mathrm{2sin}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}=\mathrm{sin}\:\left({A}+{B}\right)+\mathrm{sin}\:\left({A}−{B}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{sin}\:\mathrm{8}{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\mathrm{sin}\:\mathrm{12}{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{4}{x}\right\}\: \\ $$