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Question-94934

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Question Number 94934 by i jagooll last updated on 22/May/20
Commented by i jagooll last updated on 22/May/20
thank you both
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{both} \\ $$
Answered by john santu last updated on 22/May/20
integrating factor u(x)=e^(∫−3 dx) = e^(−3x) general solution y = ((∫ u(x)q(x)dx+C)/(u(x))) y= e^(3x) {∫ 4x e^x dx +C } y = e^(3x) { 4xe^x −4e^x +C } put x = 0 2 = 1{0−4+C} ⇒C = 6 solution ∴ y = 4xe^(4x) −4e^(4x) +6e^(3x)
$$\mathrm{integrating}\:\mathrm{factor} \\ $$$${u}\left({x}\right)={e}^{\int−\mathrm{3}\:{dx}} =\:{e}^{−\mathrm{3}{x}} \\ $$$$\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\: \\ $$$${y}\:=\:\frac{\int\:{u}\left({x}\right){q}\left({x}\right){dx}+{C}}{{u}\left({x}\right)} \\ $$$${y}=\:{e}^{\mathrm{3}{x}} \:\left\{\int\:\mathrm{4}{x}\:{e}^{{x}} \:{dx}\:+{C}\:\right\} \\ $$$${y}\:=\:{e}^{\mathrm{3}{x}} \:\left\{\:\mathrm{4}{xe}^{{x}} −\mathrm{4}{e}^{{x}} +{C}\:\right\} \\ $$$$\mathrm{put}\:{x}\:=\:\mathrm{0}\: \\ $$$$\mathrm{2}\:=\:\mathrm{1}\left\{\mathrm{0}−\mathrm{4}+{C}\right\}\:\Rightarrow\mathrm{C}\:=\:\mathrm{6} \\ $$$${solution}\:\therefore\:{y}\:=\:\mathrm{4}{xe}^{\mathrm{4}{x}} −\mathrm{4}{e}^{\mathrm{4}{x}} +\mathrm{6}{e}^{\mathrm{3}{x}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 22/May/20
(he)→y^′ −3y =0 ⇒(y^′ /y) =3 ⇒ln∣y∣ =3x +c ⇒y =k e^(3x) mvc method →y^′ =k^′ e^(3x) +3k e^(3x) (e)⇒k^′ e^(3x) +3k e^(3x) −3k e^(3x) =4x e^(4x) ⇒k^′ =4x e^x ⇒ k =4 ∫ x e^x +c but ∫ xe^x dx =_(by parts) xe^x −∫ e^x =xe^x −e^x +λ ⇒ k(x) =4(x−1)e^x +c ⇒y(x) =k(x) e^(3x) =(4(x−1)e^x +c)e^(3x) y(0) =2 ⇒(−4+c) =2 ⇒c =6 ⇒ y(x) =4(x−1)e^(4x) +6 e^(3x)
$$\left(\mathrm{he}\right)\rightarrow\mathrm{y}^{'} −\mathrm{3y}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{y}^{'} }{\mathrm{y}}\:=\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{ln}\mid\mathrm{y}\mid\:=\mathrm{3x}\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{y}\:=\mathrm{k}\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \: \\ $$$$\mathrm{mvc}\:\mathrm{method}\:\rightarrow\mathrm{y}^{'} \:=\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:+\mathrm{3k}\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \\ $$$$\left(\mathrm{e}\right)\Rightarrow\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:+\mathrm{3k}\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} −\mathrm{3k}\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:=\mathrm{4x}\:\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} \:\Rightarrow\mathrm{k}^{'} \:=\mathrm{4x}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{k}\:=\mathrm{4}\:\int\:\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{c}\:\:\mathrm{but}\:\:\int\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:=_{\mathrm{by}\:\mathrm{parts}} \:\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} −\int\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:=\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\lambda\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{k}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{4}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{k}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \\ $$$$=\left(\mathrm{4}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{c}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \: \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\:=\mathrm{2}\:\Rightarrow\left(−\mathrm{4}+\mathrm{c}\right)\:=\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{c}\:=\mathrm{6}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{4}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} \:+\mathrm{6}\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \\ $$
Commented by john santu last updated on 22/May/20
what is mvc method? have a pdf?
$$\mathrm{what}\:\mathrm{is}\:\mathrm{mvc}\:\mathrm{method}?\:\mathrm{have}\:\mathrm{a}\:\mathrm{pdf}? \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 22/May/20
mvc method →lagrange method (we variate the constant)
$$\mathrm{mvc}\:\mathrm{method}\:\rightarrow\mathrm{lagrange}\:\mathrm{method}\:\:\left(\mathrm{we}\:\mathrm{variate}\:\mathrm{the}\:\mathrm{constant}\right) \\ $$
Commented by john santu last updated on 22/May/20
oo Lagrange method. thanks
$$\mathrm{oo}\:\mathrm{Lagrange}\:\mathrm{method}.\:\mathrm{thanks} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 22/May/20
let use Laplace transform (e) ⇒L(y^′ )−3L(y) =4L(xe^(4x) ) ⇒ xL(y)−y(o)−3L(y) =4L(xe^(4x) ) but L(x e^(4x) ) =∫_0 ^∞ t e^(4t) e^(−xt) dt =∫_0 ^∞ t e^((4−x)t) dt =_(bypsrts) =[(t/(4−x)) e^((4−x)t) ]_0 ^∞ −∫_0 ^∞ (1/(4−x)) e^((4−x)t) dt =(1/(x−4))[(1/(4−x))e^((4−x)t) ]_0 ^∞ =(1/((x−4)^2 )) ⇒(x−3)L(y) =(4/((x−4)^2 )) +y(0) ⇒ L(y) =(4/((x−3)(x−4)^2 )) +((y(0))/(x−3)) let decompose F(x) =(4/((x−3)(x−4)^2 )) ⇒F(x) =(a/(x−3)) +(b/(x−4)) +(c/((x−4)^2 )) a =4 , c =4 lim_(x→+∞) xF(x) =0 =a+b ⇒b=−4 ⇒ L(y) =(4/(x−3))−(4/(x−4)) +(4/((x−4)^2 )) +((y(0))/(x−3)) ⇒ y =(4 +y(0))L^(−1) ((1/(x−3)))−4L^(−1) ((1/(x−4)))+4 L^(−1) ((1/((x−4)^2 ))) L^(−1) ((1/(x−3))) =e^(3x) , L^(−1) ((1/(x−4))) =e^(4x) L^(−1) ((1/((x−4)^2 ))) = x e^(4x) ⇒ y(x) =(4+y(0))e^(3x) −4e^(4x) +4x e^(4x) =6 e^(3x) +4(x−1)e^(4x) (y(0)=2)
$$\mathrm{let}\:\mathrm{use}\:\mathrm{Laplace}\:\mathrm{transform} \\ $$$$\left(\mathrm{e}\right)\:\Rightarrow\mathrm{L}\left(\mathrm{y}^{'} \right)−\mathrm{3L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{4L}\left(\mathrm{xe}^{\mathrm{4x}} \right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{xL}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{y}\left(\mathrm{o}\right)−\mathrm{3L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{4L}\left(\mathrm{xe}^{\mathrm{4x}} \right)\:\mathrm{but} \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} \right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}\:\mathrm{e}^{\mathrm{4t}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \:\mathrm{dt}\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}\:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{4}−\mathrm{x}\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:=_{\mathrm{bypsrts}} \\ $$$$=\left[\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{4}−\mathrm{x}}\:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{4}−\mathrm{x}\right)\mathrm{t}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}−\mathrm{x}}\:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{4}−\mathrm{x}\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{4}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}−\mathrm{x}}\mathrm{e}^{\left(\mathrm{4}−\mathrm{x}\right)\mathrm{t}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\frac{\mathrm{4}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\frac{\mathrm{4}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{4}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\:+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}−\mathrm{4}}\:+\frac{\mathrm{c}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{a}\:=\mathrm{4}\:\:\:\:,\:\mathrm{c}\:=\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{xF}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}+\mathrm{b}\:\Rightarrow\mathrm{b}=−\mathrm{4}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{x}−\mathrm{4}}\:+\frac{\mathrm{4}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\:=\left(\mathrm{4}\:+\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\right)\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\right)−\mathrm{4L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{4}}\right)+\mathrm{4}\:\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\right)\:=\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:\:\:,\:\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{4}}\right)\:=\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} \:\: \\ $$$$\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} }\right)\:=\:\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\mathrm{4}+\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\right)\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:−\mathrm{4e}^{\mathrm{4x}} \:\:+\mathrm{4x}\:\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} \:\:=\mathrm{6}\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:+\mathrm{4}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} \:\:\:\left(\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{2}\right) \\ $$$$ \\ $$

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