Question Number 95119 by Mr.D.N. last updated on 27/May/20
$$\:\mathrm{Solve}\:\mathrm{the}\:\mathrm{differential}\:\mathrm{equations}:− \\ $$$$\bigstar.\left(\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }\:−\mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:+\:\:\mathrm{y}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}=\mathrm{0}. \\ $$
Answered by niroj last updated on 23/May/20
![2. (x sin x + cos x )(d^2 y/dx^2 ) − x cos x (dy/dx) + y cos x=0 Sol^n : (d^2 y/dx^2 ) − ((x cos x)/(x sin x+cos x)) (dy/dx) + ((cos x)/(x sin x+cos x)) y=0 We know the form of variable coefficient with constant If Part of CF is known,then we can use of special cases: (d^2 y/dx^2 )+P(dy/dx)+Qy =R.. Let, P= − ((x cos x)/(x sinx+ cos x)) Q= ((cos x)/(x sin x+cos x)) and R=0 ∴P+Qx=0 −((x cos x)/(x sin x+cos x)) + ((x cos x)/(x sin x+cos x))=0 If P+Qx=0, then part of CF u= x y=uv y=xv....(i) Special case: (d^2 v/dx^2 )+(p+(2/u)(du/dx))(dv/dx)=(R/u) (d^2 v/dx^2 )+(−((x cos x)/(x sin x+cos x)) + (2/x))(dv/dx)= (0/x) Put , (dv/dx)=t ⇒ (d^2 v/dx^2 )= (dt/dx) (dt/dx) +((2/x) − ((x cos x)/(x sinx+cos x)))t=0 IF= e^(∫ ((2/x) − ((x cos x)/(x sinx+ cos x)))dx) = e^((2log x −log (x sin x +cos x)) = e^(log x^2 ) .e^(log (x sin x +cos x)^(−1) ) = x^(2 ) . (1/(x sin x +cos x)) t. (x^2 /(x sin x+cos x)) = ∫ (x^2 /(x sinx+cos x)).0 dx+C_1 t (x^2 /(x sinx+cos x)) = C_1 t = ((x sin x+ cos x)/x^2 )C_1 (dv/dx) = ((x sin x+cos x)/x^2 )C_1 ∫ dv = C_1 ∫ ((xsin x+cos x)/x^2 )dx (x sin x+cos x)(d/dx) sinx+xcosx−sinx =xcos x ∫dv = C_1 [ (xsinx+cos x)∫(1/x^2 )−∫{(xsinx +cos x)(d/dx)∫(1/x^2 )dx}dx v= C_1 [ −(x sinx+cos x)(1/x) +∫xcos x(1/x)dx +C_2 v= C_1 [−(xsin x+cos x)(1/x)+sinx]+C_2 put value of v in eq^n (i) y= xv =C_1 [−x(x sinx+cos x)(1/x)+x sin x]+C_2 x = C_1 [ −xsinx −cos x+ x sinx]+C_2 x =− C_1 cos x+C_2 x ∴ y = −C_1 cos x+C_2 x ∴ y Whis is required differential equation.](https://www.tinkutara.com/question/Q95135.png)
$$\:\:\mathrm{2}.\:\left(\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\:+\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\right)\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }\:−\:\mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:+\:\mathrm{y}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\mathrm{Sol}^{\mathrm{n}} : \\ $$$$\:\:\:\:\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }\:−\:\frac{\mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:+\:\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}\:\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\mathrm{We}\:\mathrm{know}\:\mathrm{the}\:\mathrm{form}\:\mathrm{of}\:\mathrm{variable}\:\mathrm{coefficient}\:\mathrm{with}\:\mathrm{constant}\:\mathrm{If}\:\mathrm{Part}\:\mathrm{of}\:\mathrm{CF}\:\mathrm{is} \\ $$$$\:\:\mathrm{known},\mathrm{then}\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{use}\:\mathrm{of}\:\mathrm{special}\:\mathrm{cases}: \\ $$$$\:\:\:\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{P}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{Qy}\:=\mathrm{R}.. \\ $$$$\:\mathrm{Let},\:\:\mathrm{P}=\:−\:\frac{\mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}\:\mathrm{sinx}+\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{Q}=\:\:\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{R}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\therefore\mathrm{P}+\mathrm{Qx}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:−\frac{\mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}\:+\:\:\frac{\mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{If}\:\mathrm{P}+\mathrm{Qx}=\mathrm{0},\:\mathrm{then}\:\mathrm{part}\:\mathrm{of}\:\mathrm{CF}\:\:\mathrm{u}=\:\mathrm{x} \\ $$$$\:\:\mathrm{y}=\mathrm{uv} \\ $$$$\:\:\mathrm{y}=\mathrm{xv}….\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\:\:\mathrm{Special}\:\mathrm{case}:\:\:\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{v}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }+\left(\mathrm{p}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{u}}\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\right)\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{u}} \\ $$$$\:\:\:\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{v}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }+\left(−\frac{\mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}\:+\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\right)\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}=\:\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\:\mathrm{Put}\:,\:\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{t}\:\:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{v}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }=\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}} \\ $$$$\:\:\:\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}\:+\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\:−\:\frac{\mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}\:\mathrm{sinx}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}\right)\mathrm{t}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\mathrm{IF}=\:\mathrm{e}^{\int\:\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\:−\:\frac{\mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}\:\mathrm{sinx}+\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{2log}\:\mathrm{x}\:−\mathrm{log}\:\left(\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\:+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)\right.} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{log}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } .\mathrm{e}^{\mathrm{log}\:\left(\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\:+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)^{−\mathrm{1}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}\:} .\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\:+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} \\ $$$$\:\:\mathrm{t}.\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}\:=\:\int\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}\:\mathrm{sinx}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}.\mathrm{0}\:\mathrm{dx}+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\mathrm{t}\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}\:\mathrm{sinx}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}\:=\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\mathrm{t}\:\:=\:\:\frac{\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}\:=\:\frac{\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\int\:\mathrm{dv}\:\:=\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:\int\:\frac{\mathrm{xsin}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{sinx}+\mathrm{xcosx}−\mathrm{sinx}\:=\mathrm{xcos}\:\mathrm{x}\: \\ $$$$\:\int\mathrm{dv}\:=\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \left[\:\left(\mathrm{xsinx}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\int\left\{\left(\mathrm{xsinx}\:+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\right\}\mathrm{dx}\right. \\ $$$$\:\:\mathrm{v}=\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \left[\:−\left(\mathrm{x}\:\mathrm{sinx}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:+\int\mathrm{xcos}\:\mathrm{x}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \right. \\ $$$$\:\:\mathrm{v}=\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \left[−\left(\mathrm{xsin}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\mathrm{sinx}\right]+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\mathrm{put}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{v}\:\mathrm{in}\:\mathrm{eq}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\:\:\mathrm{y}=\:\mathrm{xv} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:\:\left[−\mathrm{x}\left(\mathrm{x}\:\mathrm{sinx}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right]+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \left[\:−\mathrm{xsinx}\:−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\:\mathrm{x}\:\mathrm{sinx}\right]+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=−\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\:\:\therefore\:\mathrm{y}\:=\:−\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{y}\:\:\mathrm{Whis}\:\mathrm{is}\:\mathrm{required}\:\mathrm{differential}\:\mathrm{equation}. \\ $$
Commented by Mr.D.N. last updated on 23/May/20
outstanding aspect ����������
Commented by i jagooll last updated on 23/May/20
coll man. ������
Commented by niroj last updated on 23/May/20
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Commented by peter frank last updated on 24/May/20
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$