Question Number 161101 by bounhome last updated on 12/Dec/21
$${solve}: \\ $$$$\:\:\:\int\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}−\mathrm{3}}{dx} \\ $$
Answered by FongXD last updated on 12/Dec/21
$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{7}+\mathrm{9}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7x}−\mathrm{3}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{7}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7x}−\mathrm{3}}\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7x}−\mathrm{3}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7x}−\mathrm{3}\mid+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{61}}{\mathrm{4}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7x}−\mathrm{3}\mid+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}−\frac{\sqrt{\mathrm{61}}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{61}}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7x}−\mathrm{3}\mid+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{61}}}\int\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}−\frac{\sqrt{\mathrm{61}}}{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{61}}}{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7x}−\mathrm{3}\mid+\frac{\mathrm{9}\sqrt{\mathrm{61}}}{\mathrm{122}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{7}−\sqrt{\mathrm{61}}}{\mathrm{2x}−\mathrm{7}+\sqrt{\mathrm{61}}}\mid+\mathrm{c},\:\mathrm{c}\in\mathbb{R} \\ $$