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Question Number 95786 by abdomathmax last updated on 27/May/20
let f(x) =(1/x)ln(1+2x) 1) calculate f^((n)) (x)and f^((n)) (1) 2)developp f at integr serie at x_0 =1 3)developp f at integr serie at x_0 =0
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2x}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{calculate}\:\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{and}\:\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{developp}\:\mathrm{f}\:\mathrm{at}\:\mathrm{integr}\:\mathrm{serie}\:\mathrm{at}\:\mathrm{x}_{\mathrm{0}} =\mathrm{1} \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right)\mathrm{developp}\:\mathrm{f}\:\mathrm{at}\:\mathrm{integr}\:\mathrm{serie}\:\:\mathrm{at}\:\mathrm{x}_{\mathrm{0}} =\mathrm{0} \\ $$
Commented by Rio Michael last updated on 28/May/20
sir when you talk about integer series do you mean taylors series?
$$\mathrm{sir}\:\mathrm{when}\:\mathrm{you}\:\mathrm{talk}\:\mathrm{about}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{series} \\ $$$$\mathrm{do}\:\mathrm{you}\:\mathrm{mean}\:\mathrm{taylors}\:\mathrm{series}? \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 29/May/20
yes
$$\mathrm{yes} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 02/Jun/20
1) f^((n)) (x) =Σ_(k=0) ^n C_n ^k (ln(2x+1))^((k)) ((1/x))^((n−k)) =C_n ^0 ln(2x+1)(((−1)^n n!)/x^(n+1) ) +Σ_(k=1) ^n C_n ^k (ln(2x+1))^((k)) ×(((−1)^(n−k) (n−k)!)/x^(n−k+1) ) we have (d/dx)ln(2x+1) =(2/(2x+1)) =(1/(x+(1/2))) ⇒(d^k /dx^k )ln(2x+1)=((1/(x+(1/2))))^((k−1)) =(((−1)^(k−1) (k−1)!)/((x+(1/2))^k )) ⇒ f^((n)) (x) =(((−1)^n n!)/x^(n+1) )ln(2x+1) +Σ_(k=1) ^n C_n ^k (((−1)^(k−1) (k−1)!)/((x+(1/2))^k ))×(((−1)^(n−k) (n−k)!)/x^(n−k+1) ) =(((−1)^n n!)/x^(n+1) )ln(2x+1) +Σ_(k=1) ^n (−1)^(n−1) ((n!)/(k!(n−k)!))×(((k−1)!(n−k)!)/(x^(n−k+1) (x+(1/2))^k )) f^((n)) (x)=(((−1)^n n!)/x^(n+1) )ln(2x+1) +n!(−1)^(n−1) Σ_(k=1) ^n (1/(k x^(n−k+1) (x+(1/2))^k ))
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\right)^{\left(\mathrm{k}\right)} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)} \\ $$$$=\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{0}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{n}!}{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\:+\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\right)^{\left(\mathrm{k}\right)} ×\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{k}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)!}{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{k}+\mathrm{1}} } \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{k}} }{\mathrm{dx}^{\mathrm{k}} }\mathrm{ln}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)^{\left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{n}!}{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\mathrm{ln}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\:+\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}} }×\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{k}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)!}{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{k}+\mathrm{1}} } \\ $$$$=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{n}!}{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\mathrm{ln}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\:+\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{n}!}{\mathrm{k}!\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)!}×\frac{\left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)!\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)!}{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{k}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}} } \\ $$$$\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{n}!}{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\mathrm{ln}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\:+\mathrm{n}!\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{k}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}} } \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 02/Jun/20
f^((n)) (1) =n!(−1)^n ln(3) +n!(−1)^(n−1) Σ_(k=1) ^n (1/(k((3/2))^k )) =n!(−1)^n ln(3) +n!(−1)^(n−1) Σ_(k=1) ^n (1/k)((2/3))^k
$$\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{n}!\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{3}\right)\:+\mathrm{n}!\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}} } \\ $$$$=\mathrm{n}!\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{3}\right)\:+\mathrm{n}!\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{k}} \\ $$

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