Question Number 95845 by mathmax by abdo last updated on 28/May/20
![calculate ∫_0 ^1 (−1)^([(2/x)]) dx](https://www.tinkutara.com/question/Q95845.png)
$$\mathrm{calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\left[\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\right]} \:\mathrm{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 29/May/20
![let I =∫_0 ^1 (−1)^([(2/x)]) dx changement (2/x) =t give I =−∫_2 ^(+∞) (−1)^([t]) (−(2/t^2 ))dt =2 ∫_2 ^(+∞) (((−1)^([t]) )/t^2 )dt =2 Σ_(n=2) ^∞ ∫_n ^(n+1) (((−1)^n )/t^2 )dt =2 Σ_(n=2) ^∞ (−1)^n [−(1/t)]_n ^(n+1) =2 Σ_(n=2) ^∞ (−1)^n {(1/n)−(1/(n+1))} =2 Σ_(n=2) ^∞ (((−1)^n )/n)−2 Σ_(n=2) ^∞ (((−1)^n )/(n+1)) we have Σ_(n=2) ^∞ (((−1)^n )/n) =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n) +1 =−ln(2)+1 Σ_(n=2) ^∞ (((−1)^n )/(n+1)) =Σ_(n=3) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n) =−Σ_(n=3) ^∞ (((−1)^n )/n) =−(Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n)+1−(1/2)) =ln(2)−(1/2) ⇒ I =−2ln2 +2−2ln2 +1 =3−4ln(2)](https://www.tinkutara.com/question/Q95961.png)
$$\mathrm{let}\:\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\left[\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\right]} \:\mathrm{dx}\:\:\mathrm{changement}\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\:=\mathrm{t}\:\mathrm{give}\:\mathrm{I}\:=−\int_{\mathrm{2}} ^{+\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\left[\mathrm{t}\right]} \left(−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{2}} ^{+\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\left[\mathrm{t}\right]} }{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:=\mathrm{2}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\int_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right]_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:=\mathrm{2}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\right\} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}−\mathrm{2}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:+\mathrm{1}\:=−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{3}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{3}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}} \\ $$$$=−\left(\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}+\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=−\mathrm{2ln2}\:+\mathrm{2}−\mathrm{2ln2}\:+\mathrm{1}\:=\mathrm{3}−\mathrm{4ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$