Question Number 161464 by ZiYangLee last updated on 18/Dec/21
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{that}\:\mathrm{in}\:\Delta\mathrm{ABC}, \\ $$$$\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{A}+\mathrm{sin}\:\mathrm{B}\right):\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{B}+\mathrm{sin}\:\mathrm{C}\right):\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{C}+\mathrm{sin}\:\mathrm{A}\right)=\:\mathrm{6}:\:\mathrm{4}:\:\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{angle}\:\mathrm{A}. \\ $$
Commented by cortano last updated on 18/Dec/21
$$\:\begin{cases}{\mathrm{sin}\:{A}+\mathrm{sin}\:{B}=\mathrm{6}{k}}\\{\mathrm{sin}\:{B}+\mathrm{sin}\:{C}=\mathrm{4}{k}}\\{\mathrm{sin}\:{C}+\mathrm{sin}\:{A}=\mathrm{5}{k}}\end{cases} \\ $$$$\:\Rightarrow\mathrm{sin}\:{A}+\mathrm{sin}\:{B}+\mathrm{sin}\:{C}\:=\:\frac{\mathrm{15}{k}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{sin}\:{A}=\frac{\mathrm{7}{k}}{\mathrm{2}}}\\{\mathrm{sin}\:{B}=\frac{\mathrm{5}{k}}{\mathrm{2}}}\\{\mathrm{sin}\:{C}=\frac{\mathrm{3}{k}}{\mathrm{2}}}\end{cases}\:;\mathrm{sin}\:{A}\::\:\mathrm{sin}\:{B}\::\:\mathrm{sin}\:{C}\:=\:\mathrm{7}:\mathrm{5}:\mathrm{3} \\ $$$$\:{so}\:{a}:{b}:{c}\:=\:\mathrm{7}:\mathrm{5}:\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{cos}\:{A}\:=\:\frac{\mathrm{25}+\mathrm{9}−\mathrm{49}}{\mathrm{2}×\mathrm{5}×\mathrm{3}}=−\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{30}} \\ $$$$\:\Rightarrow{A}=\mathrm{120}° \\ $$