Question Number 161612 by cortano last updated on 20/Dec/21
$$\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\sqrt[{{x}}]{\mathrm{cos}\:\sqrt{{x}}}\:=? \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 20/Dec/21
$${A}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\sqrt[{{x}}]{\mathrm{cos}\sqrt{{x}}}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{cos}\sqrt{{x}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{x}}} \\ $$$$\mathrm{ln}{A}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{{x}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{cos}\sqrt{{x}}\right)=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{{x}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{{x}}\left(−\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Rightarrow{A}={e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} =\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{e}}} \\ $$
Answered by blackmamba last updated on 20/Dec/21
$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\sqrt[{{x}}]{\mathrm{1}−\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\sqrt{{x}}}{\mathrm{2}}\right)}\:=\:{e}^{\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\sqrt{{x}}}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{1}\right).\frac{\mathrm{1}}{{x}}} \\ $$$$\:\:=\:{e}^{\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\left(−\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\sqrt{{x}}}{\mathrm{2}}\right)\right).\frac{\mathrm{1}}{{x}}} \\ $$$$\:\:=\:{e}^{\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\left(\frac{−\mathrm{2}\left(\frac{{x}}{\mathrm{4}}\right)}{{x}}\right)} =\:{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} =\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{e}}}\: \\ $$