Question Number 96097 by mhmd last updated on 29/May/20
Answered by mathmax by abdo last updated on 29/May/20
$$\mathrm{A}\:=\int_{−\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\mathrm{changement}\:\mathrm{x}=−\mathrm{t}\:\mathrm{give} \\ $$$$\mathrm{A}\:=−\int_{−\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{−\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:=\int_{−\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{t}} }{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{t}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt} \\ $$$$=\int_{−\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{t}} +\mathrm{1}−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{t}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt}\:=\int_{−\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}\:} +\mathrm{1}}\:−\mathrm{A}\:\Rightarrow\mathrm{2A}\:=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}\:=\left[\mathrm{arctant}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:=\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$
Commented by mhmd last updated on 29/May/20
$${sir}\:{are}\:{you}\:{can}\:{exactly}\:{steb}\:{by}\:{steb}\:{pleas}\:{sir}\:? \\ $$
Commented by mhmd last updated on 29/May/20
$${how}\:{change}\:{the}\:{interval}\:{intigral}\:{from}\left[−\mathrm{1},\mathrm{1}\right]\:{to}\left[\mathrm{0},\mathrm{1}\right]\:{can}\:{you}\:{exactly}\:{sir}\:?\:{in}\:{befor}\:{last}\:{steb} \\ $$
Commented by Sourav mridha last updated on 29/May/20
$$\mathrm{so}\:\mathrm{simple}\:\mathrm{if}\: \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(−\mathrm{x}\right)\:\mathrm{then}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{called}\:\mathrm{even}\:\mathrm{f}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{then}:\int_{−\mathrm{a}} ^{+\mathrm{a}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(−\mathrm{x}\right)\right]\:\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:\mathrm{for}\:\mathrm{even}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{0for}\:\mathrm{odd}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right),\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=−\mathrm{f}\left(−\mathrm{x}\right). \\ $$$$\mathrm{it}\:\mathrm{just}\:\mathrm{property}\:\mathrm{of}\:\mathrm{definite}\:\mathrm{integral}. \\ $$