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let-g-x-ln-sinx-developp-g-at-fourier-serie-

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Question Number 96196 by mathmax by abdo last updated on 30/May/20
let g(x) =ln(sinx) developp g at fourier serie
$$\mathrm{let}\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{sinx}\right)\:\:\mathrm{developp}\:\mathrm{g}\:\mathrm{at}\:\mathrm{fourier}\:\mathrm{serie} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 31/May/20
g(x) =ln(sinx) =ln(((e^(ix) −e^(−ix) )/(2i))) =ln(e^(ix) −e^(−ix) )−ln(2i) =ln(e^(ix) (1−e^(−2ix) ))−ln(2)−ln(e^((iπ)/2) ) =ix +ln(1−e^(−2ix) )−ln2−((iπ)/2) we have ln^′ (1−u) =−(1/(1−u)) =−Σ_(n=0) ^∞ u^n ⇒ln(1−u) =−Σ_(n=0) ^∞ (u^(n+1) /(n+1)) +c (c=0) =−Σ_(n=1) ^∞ (u^n /n) ⇒ln(1−e^(−2ix) ) =−Σ_(n=1) ^∞ (((e^(−2ix) )^n )/n) =−Σ_(n=1) ^∞ (e^(−2inx) /n) ⇒g(x) =i(x−(π/2))−Σ_(n=1) ^∞ (e^(−2inx) /n)−ln2 =i(x−(π/2))−Σ_(n=1) ^∞ ((cos(2nx))/n) +iΣ_(n=1) ^∞ ((sin(2nx))/n) −ln2 we have ln(sinx) real ⇒ln(sinx) =−Σ_(n=1) ^∞ ((cos(2nx))/n)−ln2 and x−(π/2) +Σ_(n=1) ^∞ ((sin(2nx))/n) =0
$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{sinx}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{2i}}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} \right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2i}\right) \\ $$$$=\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} \right)\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{2}}} \right)\:=\mathrm{ix}\:+\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} \right)−\mathrm{ln2}−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{ln}^{'} \left(\mathrm{1}−\mathrm{u}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{u}}\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{u}\right)\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{c}\:\:\left(\mathrm{c}=\mathrm{0}\right) \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} \right)\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} \right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{2inx}} }{\mathrm{n}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{i}\left(\mathrm{x}−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right)−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{2inx}} }{\mathrm{n}}−\mathrm{ln2} \\ $$$$=\mathrm{i}\left(\mathrm{x}−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right)−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}\right)}{\mathrm{n}}\:+\mathrm{i}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2nx}\right)}{\mathrm{n}}\:−\mathrm{ln2} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{sinx}\right)\:\mathrm{real}\:\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{sinx}\right)\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}\right)}{\mathrm{n}}−\mathrm{ln2}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{x}−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2nx}\right)}{\mathrm{n}}\:=\mathrm{0} \\ $$

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