Question Number 161802 by femKaren last updated on 22/Dec/21
Answered by mr W last updated on 22/Dec/21
$${f}\left({x}\right)=\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \:{x}+\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \:{x} \\ $$$${f}'\left({x}\right)=−\mathrm{3}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x}\:\mathrm{sin}\:{x}+\mathrm{3}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}\:\mathrm{cos}\:{x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{3}\:\mathrm{cos}\:{x}\:\mathrm{sin}\:{x}\:\left(\mathrm{sin}\:{x}−\mathrm{cos}\:{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${for}\:{x}\in\:\left(\mathrm{0},\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right):\:\mathrm{cos}\:{x}\neq\mathrm{0},\:\mathrm{sin}\:{x}\neq\mathrm{0} \\ $$$${therefore} \\ $$$$\mathrm{sin}\:{x}−\mathrm{cos}\:{x}=\mathrm{0}\: \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:{x}=\mathrm{1}\:\Rightarrow{x}=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\:\Rightarrow\mathrm{cos}\:{x}=\mathrm{sin}\:{x}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${f}\left({x}\right)_{{extremum}} =\mathrm{2}×\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{3}} =\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by femKaren last updated on 22/Dec/21
$${thank}\:{you}\:{so}\:{much}! \\ $$