Question-162109

Question Number 162109 by SANOGO last updated on 26/Dec/21

Answered by TheHoneyCat last updated on 01/Jan/22

1) “x/y” signifie “x divise y” d=pgcd(a,b) Donc d/a et d/b soit {(a/d), (b/d)}⊂N Ainsi m=a×(b/d)=b×(a/d) est trivialement un multiple des deux entiers 2)soit x=pgcd(a_1 ,b_1 ) x/a_1 et x/b_1 d′ou x.d/a et x.d/b Or d est le “plus grand” diviseur commun de a et b donc pour avoir x.d≤d il faut x=1 ainsi pdcg(a_1 , b_1 )=1 ils sont donc premiers entre eux... 3) soit x un multiple commun de a et b a/x et b/x donc a_1 d/x et b_1 d/x ou a_1 /(x/d) et b_1 /(x/d) a_1 et b_1 etant premiers entre eux, on a donc a_1 b_1 /(x/d ) ou tout simplement a_1 b_1 d/x or a_1 b_1 d = (a/d) (b/d) d = ((ab)/d) = m d′ou m/x x est bien multiple de m._■

$$\left.\mathrm{1}\right)\:“{x}/{y}''\:\mathrm{signifie}\:“{x}\:\mathrm{divise}\:{y}'' \\ $$$${d}=\mathrm{pgcd}\left({a},{b}\right) \\ $$$$\mathrm{Donc}\:{d}/{a}\:\mathrm{et}\:{d}/{b} \\ $$$$\mathrm{soit}\:\left\{\frac{{a}}{{d}},\:\frac{{b}}{{d}}\right\}\subset\mathbb{N} \\ $$$$\mathrm{Ainsi}\:{m}={a}×\frac{{b}}{{d}}={b}×\frac{{a}}{{d}}\:\mathrm{est}\:\mathrm{trivialement}\:\mathrm{un}\:\mathrm{multiple}\:\mathrm{des}\:\mathrm{deux}\:\mathrm{entiers} \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{soit}\:{x}=\mathrm{pgcd}\left({a}_{\mathrm{1}} ,{b}_{\mathrm{1}} \right) \\ $$$${x}/{a}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{et}\:{x}/{b}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{d}'\mathrm{ou}\:{x}.{d}/{a}\:\mathrm{et}\:{x}.{d}/{b} \\ $$$$\mathrm{Or}\:{d}\:\mathrm{est}\:\mathrm{le}\:“{plus}\:{grand}''\:\mathrm{diviseur}\:\mathrm{commun}\:\mathrm{de}\:{a}\:\mathrm{et}\:{b} \\ $$$$\mathrm{donc}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{avoir}\:{x}.{d}\leqslant{d}\:\mathrm{il}\:\mathrm{faut}\:{x}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{ainsi}\:\mathrm{pdcg}\left({a}_{\mathrm{1}} ,\:{b}_{\mathrm{1}} \right)=\mathrm{1}\:\mathrm{ils}\:\mathrm{sont}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{premiers}\:\mathrm{entre}\:\mathrm{eux}… \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{soit}\:{x}\:\mathrm{un}\:\mathrm{multiple}\:\mathrm{commun}\:\mathrm{de}\:{a}\:\mathrm{et}\:{b} \\ $$$${a}/{x}\:\mathrm{et}\:{b}/{x} \\ $$$$\mathrm{donc}\:{a}_{\mathrm{1}} {d}/{x}\:\mathrm{et}\:{b}_{\mathrm{1}} {d}/{x} \\ $$$$\mathrm{ou}\:{a}_{\mathrm{1}} /\frac{{x}}{{d}}\:\mathrm{et}\:{b}_{\mathrm{1}} /\frac{{x}}{{d}} \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{et}\:{b}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{etant}\:\mathrm{premiers}\:\mathrm{entre}\:\mathrm{eux},\:\mathrm{on}\:\mathrm{a}\:\mathrm{donc} \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} {b}_{\mathrm{1}} /\frac{{x}}{{d}\:}\:\mathrm{ou}\:\mathrm{tout}\:\mathrm{simplement}\:{a}_{\mathrm{1}} {b}_{\mathrm{1}} {d}/{x} \\ $$$$\mathrm{or}\:{a}_{\mathrm{1}} {b}_{\mathrm{1}} {d}\:=\:\frac{{a}}{{d}}\:\frac{{b}}{{d}}\:{d}\:=\:\frac{{ab}}{{d}}\:=\:{m} \\ $$$$\mathrm{d}'\mathrm{ou}\:{m}/{x} \\ $$$${x}\:\mathrm{est}\:\mathrm{bien}\:\mathrm{multiple}\:\mathrm{de}\:\mathrm{m}._{\blacksquare} \\ $$

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