Question Number 96766 by bemath last updated on 04/Jun/20
$$\mathrm{solve}\::\:\mathrm{tan}\:{x}−\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{2}{x}\right)\:=\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\: \\ $$
Answered by bobhans last updated on 04/Jun/20
$$\Rightarrow\:\mathrm{tan}\:\left({x}\right)−\frac{\mathrm{2tan}\:\left({x}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \left({x}\right)}\:=\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{tan}\:\left({x}\right)−\mathrm{tan}\:^{\mathrm{3}} \left({x}\right)−\mathrm{2tan}\:\left({x}\right)=\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \left({x}\right) \\ $$$${let}\:\mathrm{tan}\:\left({x}\right)\:=\:{v}\:\Rightarrow{v}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:{v}^{\mathrm{2}} +\:{v}+\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\left({v}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)\:\left({v}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}{v}\:−\mathrm{2}\right)\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\begin{cases}{{v}\:=\:\sqrt{\mathrm{3}}\:}\\{{v}\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\:+\:\sqrt{\mathrm{11}}}{\mathrm{2}}}\\{{v}\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\:−\sqrt{\mathrm{11}}}{\mathrm{2}}}\end{cases} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{tan}\:\left({x}\right)\:=\:\sqrt{\mathrm{3}}\:\Rightarrow{x}\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{3}}+\:\mathrm{n}\pi}\\{\mathrm{tan}\:\left({x}\right)\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{11}}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\:{x}\:=\:\mathrm{arctan}\:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{11}}}{\mathrm{2}}\right)+{n}\pi}\\{\mathrm{tan}\:\left({x}\right)\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{11}}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow{x}\:=\:\mathrm{arctan}\:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{11}}}{\mathrm{2}}\right)\:+{n}\pi}\end{cases} \\ $$$$ \\ $$