Question Number 96826 by bobhans last updated on 05/Jun/20
$$\mathrm{If}\:\mathrm{2f}\left(\mathrm{x}\right)\:+\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:.\:\mathrm{determine}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\: \\ $$
Answered by john santu last updated on 05/Jun/20
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:{px}^{\mathrm{2}} +{qx}+{r}\: \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)=\:{px}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{px}+{p}+{qx}−{q}+{r} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)=\:{px}^{\mathrm{2}} +\left({q}−\mathrm{2}{p}\right){x}+{p}−{q}+{r} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{3}{px}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{3}{q}−\mathrm{2}{p}\right){x}+\mathrm{3}{r}+{p}−{q}\:=\:{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{3}{p}=\mathrm{1}\:\Rightarrow{p}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{3}{q}−\mathrm{2}{p}\:=\:\mathrm{0}\:\Rightarrow{q}\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{p}\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}} \\ $$$$\mathrm{3}{r}+{p}−{q}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{r}\:=\:\frac{{q}−{p}}{\mathrm{3}}\:=\:\frac{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}} \\ $$$${r}\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}\: \\ $$$$ \\ $$