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a-n-is-a-sequence-wich-verify-a-n-1-a-n-1-n-1-n-calculate-n-0-a-n-x-n-




Question Number 96836 by mathmax by abdo last updated on 05/Jun/20
a_n  is a sequence wich verify a_(n+1)  +a_n =(1/(n+1)) ∀n  calculate Σ_(n=0) ^∞  a_n x^n
$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{sequence}\:\mathrm{wich}\:\mathrm{verify}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:\forall\mathrm{n} \\ $$$$\mathrm{calculate}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$
Answered by Smail last updated on 05/Jun/20
f(x)=Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n =Σ_(n=0) ^∞ ((1/(n+1))−a_(n+1) )x^n   =Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n+1))−Σ_(n=0) ^∞ a_(n+1) x^n   =−((ln(1−x))/x)−(1/x)(Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n −a_0 )\ only if ∣x∣<1  =((a_0 −ln(1−x))/x)−((f_n (x))/x)  f(x)(1+(1/x))=((a_0 −ln(1−x))/x)  f(x)=((a_0 −ln(1−x))/(x+1))  a_0 =1−(1/2)+(1/3)−(1/4)+(1/5)...+_− (1/k)
$${f}\left({x}\right)=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}{a}_{{n}} {x}^{{n}} =\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}−{a}_{{n}+\mathrm{1}} \right){x}^{{n}} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}−\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}{a}_{{n}+\mathrm{1}} {x}^{{n}} \\ $$$$=−\frac{{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\left(\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}{a}_{{n}} {x}^{{n}} −{a}_{\mathrm{0}} \right)\backslash\:{only}\:{if}\:\mid{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$$$=\frac{{a}_{\mathrm{0}} −{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}}−\frac{{f}_{{n}} \left({x}\right)}{{x}} \\ $$$${f}\left({x}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)=\frac{{a}_{\mathrm{0}} −{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{{a}_{\mathrm{0}} −{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}+\mathrm{1}} \\ $$$${a}_{\mathrm{0}} =\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}…\underset{−} {+}\frac{\mathrm{1}}{{k}} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 05/Jun/20
how are you sir smail you are absent for a long time in this forum  you still stand in usa?
$$\mathrm{how}\:\mathrm{are}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}\:\mathrm{smail}\:\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{absent}\:\mathrm{for}\:\mathrm{a}\:\mathrm{long}\:\mathrm{time}\:\mathrm{in}\:\mathrm{this}\:\mathrm{forum} \\ $$$$\mathrm{you}\:\mathrm{still}\:\mathrm{stand}\:\mathrm{in}\:\mathrm{usa}? \\ $$
Commented by Smail last updated on 05/Jun/20
Yes, I am still in the USA.  I bought a new phone and I didn′t a chance  to install this app until two weeks ago.
$${Yes},\:{I}\:{am}\:{still}\:{in}\:{the}\:{USA}. \\ $$$${I}\:{bought}\:{a}\:{new}\:{phone}\:{and}\:{I}\:{didn}'{t}\:{a}\:{chance} \\ $$$${to}\:{install}\:{this}\:{app}\:{until}\:{two}\:{weeks}\:{ago}. \\ $$
Commented by Smail last updated on 05/Jun/20
How about you? How is your life with this  corona crisis?
$${How}\:{about}\:{you}?\:{How}\:{is}\:{your}\:{life}\:{with}\:{this} \\ $$$${corona}\:{crisis}? \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 05/Jun/20
i am fine thank you ....
$$\mathrm{i}\:\mathrm{am}\:\mathrm{fine}\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:…. \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 05/Jun/20
we have a_(n+1)  +a_n =(1/(n+1)) ⇒a_(n+1) =(1/(n+1))−a_n  ⇒Σ_(n=0) ^∞  a_(n+1) x^n   =Σ_(n=0) ^∞  (x^n /(n+1))−Σ_(n=0) ^∞  a_n x^n  =Σ_(n=1) ^∞  (x^(n−1) /n) −Σ_(n=0) ^∞  a_n x^n  ⇒  Σ_(n=1) ^∞  a_n x^(n−1)  =(1/x)Σ_(n=1) ^∞  (x^n /n) −Σ_(n=0) ^∞  a_n x^n  ⇒  (1/x)Σ_(n=1) ^∞  a_n x^n  +Σ_(n=0) ^∞  a_n x^n   =−(1/x)ln(1−x) ⇒  (1/x)(Σ_(n=0) ^∞  a_n x^n −a_0 )+Σ_(n=0) ^∞  a_n x^n  =−((ln(1−x))/x) ⇒  ((1/x)+1)Σ_(n=0) a_n x^n  =(a_0 /x)−((ln(1−x))/x) ⇒(x+1)Σ_(n=0) ^∞  a_n x^n  =a_0 −ln(1−x) ⇒  Σ_(n=0) ^∞  a_n x^n  =(a_0 /(x+1))−((ln(1−x))/(x+1))
$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\left(\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{a}_{\mathrm{0}} \right)+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=−\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\mathrm{1}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} \mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{0}} }{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{a}_{\mathrm{0}} −\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{0}} }{\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 05/Jun/20
another way we can explicit a_n  we have a_n  +a_(n+1) =(1/(n+1)) ⇒  Σ_(k=0) ^n (−1)^k (a_k  +a_(k+1) ) =Σ_(k=0) ^n  (((−1)^k )/(k+1)) ⇒  (a_0 +a_1 )−(a_1 +a_2 )+.....(−1)^(n−1) (a_(n−1)  +a_n ) +(−1)^n (a_(n ) +a_(n+1) )  =Σ_(k=0) ^n  (((−1)^k )/(k+1)) ⇒a_0 +(−1)^n  a_(n+1) =Σ_(k=1) ^(n+1)  (((−1)^(k−1) )/k)  (−1)^n  a_(n+1) =−a_0 −Σ_(k=1) ^(n+1)  (((−1)^(k−1) )/k) ⇒  a_(n+1) =(−1)^(n+1)  a_0  +(−1)^(n+1)  Σ_(k=1) ^(n+1)  (((−1)^(k−1) )/k) ⇒  a_n =(−1)^n  a_0  +(−1)^n  Σ_(k=1) ^n  (((−1)^(k−1) )/k)  (for n>0)   ⇒  Σ_(n=0) ^∞  a_n x^n  =a_0  Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n  x^n  +Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n {Σ_(k=1) ^(n ) (((−1)^(k−1) )/k)} x^n   =(a_0 /(x+1)) +Σ_(n=0) ^∞  (−1)^(n ) { Σ_(k=1) ^n  (((−1)^(k−1) )/k)}x^n
$$\mathrm{another}\:\mathrm{way}\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{explicit}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \:+\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{a}_{\mathrm{k}} \:+\mathrm{a}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \right)\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{a}_{\mathrm{0}} +\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \right)−\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{2}} \right)+…..\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:+\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right)\:+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}\:} +\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{0}} +\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}} \\ $$$$\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =−\mathrm{a}_{\mathrm{0}} −\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{a}_{\mathrm{0}} \:+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{a}_{\mathrm{0}} \:+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}}\:\:\left(\mathrm{for}\:\mathrm{n}>\mathrm{0}\right)\:\:\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{a}_{\mathrm{0}} \:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left\{\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}\:} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}}\right\}\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{0}} }{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}\:} \left\{\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}}\right\}\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 05/Jun/20
∣x∣<1
$$\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$

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