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3y-2x-y-1-

Tinku Tara 0 Comments
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Question Number 97868 by bemath last updated on 10/Jun/20
3y′ = 2x+y−1
$$\mathrm{3y}'\:=\:\mathrm{2x}+\mathrm{y}−\mathrm{1}\: \\ $$
Answered by bobhans last updated on 10/Jun/20
Commented by bemath last updated on 10/Jun/20
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Answered by mathmax by abdo last updated on 10/Jun/20
3y^′ −y =2x−1 (he)→3y^′ −y =0 ⇒(y^′ /y)=(1/3) ⇒ln∣y∣ =(x/3) +c ⇒y =k e^(x/3) mvc method→y^′ =k^′ e^(x/3) +(k/3)e^(x/3) e ⇒3k^′ e^(x/3) +k e^(x/3) −k e^(x/3) =2x−1 ⇒3k^′ =(2x−1)e^(−(x/3)) ⇒ k^′ =((2x−1)/3) e^(−(x/3)) ⇒ k(x) =(1/3) ∫(2x−1)e^(−(x/3)) dx +c ⇒ we have ∫ (2x−1)e^(−(x/3)) dx =−3(2x−1)e^(−(x/3)) −∫ (2)(−3)e^(−(x/3)) dx =−3(2x−1)e^(−(x/3)) +6 ∫ e^(−(x/3)) dx =−3(2x−1)e^(−(x/3)) −18 e^(−(x/3)) =(−6x−15)e^(−(x/3)) ⇒k(x) =(−2x−5)e^(−(x/3)) +c ⇒ y(x) ={(−2x−5)e^(−(x/3)) +c}e^(x/3) =−2x−5 +c e^(x/3)
$$\mathrm{3y}^{'} −\mathrm{y}\:=\mathrm{2x}−\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{he}\right)\rightarrow\mathrm{3y}^{'} −\mathrm{y}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{y}^{'} }{\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\mathrm{ln}\mid\mathrm{y}\mid\:=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{y}\:=\mathrm{k}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{mvc}\:\mathrm{method}\rightarrow\mathrm{y}^{'} \:=\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}} \:+\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{3}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{e}\:\Rightarrow\mathrm{3k}^{'} \:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}} \:+\mathrm{k}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}} \:−\mathrm{k}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}} \:=\mathrm{2x}−\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{3k}^{'} \:=\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{k}^{'} \:=\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}} \:\:\Rightarrow\:\mathrm{k}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\int\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{dx}\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\int\:\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{dx}\:=−\mathrm{3}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}} −\int\:\left(\mathrm{2}\right)\left(−\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{dx}\: \\ $$$$=−\mathrm{3}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}} \:+\mathrm{6}\:\int\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{dx}\:=−\mathrm{3}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}} \:−\mathrm{18}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}} \\ $$$$=\left(−\mathrm{6x}−\mathrm{15}\right)\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}} \:\:\Rightarrow\mathrm{k}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(−\mathrm{2x}−\mathrm{5}\right)\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}} \:+\mathrm{c}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left\{\left(−\mathrm{2x}−\mathrm{5}\right)\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}} \:+\mathrm{c}\right\}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}} \:=−\mathrm{2x}−\mathrm{5}\:+\mathrm{c}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}} \\ $$

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