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lim-x-0-cos-2x-cos-4x-cos-8x-3x-csc-2x-2x-2-

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Question Number 163690 by cortano1 last updated on 09/Jan/22
lim_(x→0) ((cos 2x cos 4x cos 8x − 3x csc 2x)/(2x^2 )) =?
$$\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{8}{x}\:−\:\mathrm{3}{x}\:\mathrm{csc}\:\mathrm{2}{x}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }\:=? \\ $$
Answered by blackmamba last updated on 09/Jan/22
X = lim_(x→0) ((sin 2x cos 2x cos 4x cos 8x−3x)/(2x^2 sin 2x)) X = lim_(x→0) (((1/2)sin 4x cos 4x cos 8x−3x)/(2x^2 sin 2x)) X = lim_(x→0) (((1/4) sin 8x cos 8x−3x)/(2x^2 sin 2x)) X = lim_(x→0) (((1/8) sin 16x−3x)/(2x^2 sin 2x)) X = lim_(x→0) ((sin 16x−24x)/(16x^2 sin 2x)) X= lim_(x→0) ((sin 16x−16x−8x)/(32x^3 ( ((sin 2x)/(2x))))) X= lim_(x→0) (((((sin 16x−16x)/((16x)^3 )))(16x^3 )−8x)/(32x^3 )) X = lim_(x→0) ((−(8/3)x^3 −8x)/(32x^3 )) = −∞
$$\:\:\mathcal{X}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{8}{x}−\mathrm{3}{x}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}} \\ $$$$\:\:\mathcal{X}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:\mathrm{4}{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{8}{x}−\mathrm{3}{x}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}} \\ $$$$\:\mathcal{X}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{8}{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{8}{x}−\mathrm{3}{x}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}} \\ $$$$\:\mathcal{X}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{16}{x}−\mathrm{3}{x}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}} \\ $$$$\:\mathcal{X}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{16}{x}−\mathrm{24}{x}}{\mathrm{16}{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}} \\ $$$$\:\mathcal{X}=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{16}{x}−\mathrm{16}{x}−\mathrm{8}{x}}{\mathrm{32}{x}^{\mathrm{3}} \left(\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}}{\mathrm{2}{x}}\right)} \\ $$$$\:\mathcal{X}=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\left(\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{16}{x}−\mathrm{16}{x}}{\left(\mathrm{16}{x}\right)^{\mathrm{3}} }\right)\left(\mathrm{16}{x}^{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{8}{x}}{\mathrm{32}{x}^{\mathrm{3}} }\: \\ $$$$\:\mathcal{X}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{8}{x}}{\mathrm{32}{x}^{\mathrm{3}} }\:=\:−\infty \\ $$

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