Question Number 32640 by Rio Mike last updated on 30/Mar/18
$${Given}\:{the}\:{function}\:{f}:{x}\rightarrow\:\frac{{x}\:+\mathrm{1}}{\mathrm{3}{x}} \\ $$$${and}\:{g}\::\:{x}\:\rightarrow\:{x}−\mathrm{1}.\mathrm{Find}\: \\ $$$$\left.\mathrm{a}\right)\:\mathrm{fg} \\ $$$$\left.\mathrm{b}\right)\mathrm{f}°\mathrm{g} \\ $$$$\left.\mathrm{c}\right)\:{gf}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right) \\ $$
Answered by Joel578 last updated on 30/Mar/18
$${f}\left({x}\right)\:=\:\frac{{x}\:+\:\mathrm{1}}{\mathrm{3}{x}},\:\:{g}\left({x}\right)\:=\:{x}\:−\:\mathrm{1} \\ $$$$\left({f}\:\circ\:{g}\right)\left({x}\right)\:=\:{f}\left({x}\:−\:\mathrm{1}\right)\:=\:\frac{\left({x}\:−\:\mathrm{1}\right)\:+\:\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left({x}\:−\:\mathrm{1}\right)}\:=\:\frac{{x}}{\mathrm{3}{x}\:−\:\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$$$\left({g}\:\circ\:{f}\right)\left({x}\right)\:=\:{g}\left(\frac{{x}\:+\:\mathrm{1}}{\mathrm{3}{x}}\right)\:=\:\frac{{x}\:+\:\mathrm{1}}{\mathrm{3}{x}}\:−\:\frac{\mathrm{3}{x}}{\mathrm{3}{x}}\:=\:\frac{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{2}{x}}{\mathrm{3}{x}} \\ $$$$ \\ $$$${f}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{x}\:−\:\mathrm{1}} \\ $$$$\left({g}\:\circ\:{f}^{−\mathrm{1}} \right)\left({x}\right)\:=\:{g}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{x}\:−\:\mathrm{1}}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{x}\:−\:\mathrm{1}}\:−\:\frac{\mathrm{3}{x}\:−\:\mathrm{1}}{\mathrm{3}{x}\:−\:\mathrm{1}}\:=\:\frac{\mathrm{2}\:−\:\mathrm{3}{x}}{\mathrm{3}{x}\:−\:\mathrm{1}} \\ $$