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Question-98537




Question Number 98537 by student work last updated on 14/Jun/20
Commented by student work last updated on 14/Jun/20
helpe me
$$\mathrm{helpe}\:\mathrm{me} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 14/Jun/20
at form of serie  I =∫ ((lnx)/(1+x))dx let f(x) =∫_0 ^x  ((ln(t))/(1+t)) dt   (x>0)  case 1   o<x<1 ⇒f(x) =∫_0 ^x ln(t)Σ_(n=0) ^∞  (−1)^n  t^n  dt  =Σ_(n=0) ^∞  (−1)^n  ∫_0 ^x  t^n  ln(t) dt   =Σ_(n=0) ^∞  (−1)^n  A_n   by parts  A_n =[(t^(n+1) /(n+1))ln(t)]_0 ^x −∫_0 ^x  (t^n /(n+1)) dt =(x^(n+1) /(n+1))lnx−(x^(n+1) /((n+1)^2 )) ⇒  I =Σ_(n=0) ^∞  (((−1)^n )/(n+1)) x^(n+1) ln(x)−Σ_(n=0) ^∞  (((−1)^n )/((n+1)^2 )) x^(n+1)   case 2  x>1 ⇒(1/x)<1    we do the changement t=(1/u) ⇒  f(x) =∫_0 ^1  ((ln(t))/(1+t))dt +∫_1 ^x  ((ln(t))/(1+t)) dt(→t=(1/u))  =∫_0 ^1  ((ln(t))/(1+t))dt  −∫_(1/x) ^1  ((−lnu)/(1+(1/u)))×((−du)/u^2 )  =∫_0 ^1  ((ln(t))/(1+t))dt −∫_(1/x) ^1  ((lnu)/(1+u^2 ))du =∫_0 ^1 ln(t)Σ_(n=0) ^∞  (−1)^n  t^n dt −∫_(1/x) ^1  lnt(Σ_(n=0) ^∞  (−1)^n t^(2n) )dt  =Σ_(n=0) ^∞  (−1)^n  ∫_0 ^1  t^n  lnt dt −Σ_(n=0) ^∞  (−1)^n  ∫_(1/x) ^1  t^(2n)  lnt dt  ∫_0 ^1  t^n  ln(t)dt =[(t^(n+1) /(n+1))lnt]_0 ^1  −∫_0 ^1  (t^n /(n+1)) dt =−(1/((n+1)^2 )) ⇒  ∫_0 ^1  ((lnt)/(1+t))dt =Σ_(n=0) ^∞  (((−1)^(n+1) )/((n+1)^2 )) =Σ_(n=1) ^∞  (((−1)^n )/n^2 ) =(2^(1−2) −1)ξ(2) =−(π^2 /(12))  ∫_(1/x) ^1  t^(2n) ln(t)dt =[(t^(2n+1) /(2n+1)) ln(t)]_(1/x) ^1  −∫_(1/x) ^1  (t^(2n) /(2n+1))dt  =((ln(x))/((2n+1)x^(2n+1) )) −(1/((2n+1)^2 ))(1−(1/x^(2n+1) )) ⇒  ∫_(1/x) ^1  ((lnu)/(1+u^2 ))du =Σ_(n=0) ^∞  (((−1)^n ln(x))/((2n+1)x^(2n+1) )) −Σ_(n=0) ^∞  (((−1)^n )/((2n+1)^2 ))(→k catalan constant)  +Σ_(n=0) ^∞  (((−1)^n )/((2n+1)^2  x^(2n+1) ))
$$\mathrm{at}\:\mathrm{form}\:\mathrm{of}\:\mathrm{serie}\:\:\mathrm{I}\:=\int\:\frac{\mathrm{lnx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\:\mathrm{dt}\:\:\:\left(\mathrm{x}>\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{o}<\mathrm{x}<\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\:\mathrm{dt}\:\:\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \:\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\left[\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{lnx}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{2}\:\:\mathrm{x}>\mathrm{1}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}<\mathrm{1}\:\:\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\mathrm{t}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:+\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\:\mathrm{dt}\left(\rightarrow\mathrm{t}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}}\right) \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:\:−\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{−\mathrm{lnu}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}}}×\frac{−\mathrm{du}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:−\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{lnu}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\mathrm{du}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \mathrm{dt}\:−\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{lnt}\left(\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{t}^{\mathrm{2n}} \right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{lnt}\:\mathrm{dt}\:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{2n}} \:\mathrm{lnt}\:\mathrm{dt} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:=\left[\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{lnt}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:\mathrm{dt}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{lnt}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right)\:=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$$$\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{2n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:=\left[\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\right]_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} ^{\mathrm{1}} \:−\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }\:−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{lnu}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\mathrm{du}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }\:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left(\rightarrow\mathrm{k}\:\mathrm{catalan}\:\mathrm{constant}\right) \\ $$$$+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} } \\ $$$$ \\ $$

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