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Question-164138




Question Number 164138 by LEKOUMA last updated on 14/Jan/22
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 14/Jan/22
L=lim(...)  lnL=lim(((x+1)/(x^2 +1))).ln(lim(((x^3 +5)/(x^2 +2))))  =((lim(ln(((x^3 +5)/(x^2 +2)))))/(1/(lim(((x+1)/(x^2 +1))))))=((lim(ln(((x^3 +5)/(x^2 +1)))))/(lim(((x^2 +1)/(x+1)))))  ((lim(((3x^2 (x^2 +1)−2x(x^3 +5))/((x^2 +1)(x^3 +5)))))/(lim(((2x(x+1)−(x^2 +1))/((x+1)^2 )))))  ((lim(((x^4 +3x^2 −10x)/(x^5 +x^3 +x^2 +5))))/(lim(((x^2 +2x−1)/(x^2 +2x+1)))))=((lim(((x^4 (1+(3/x^2 )−((10)/x^3 )))/(x^5 (1+(1/x^2 )+(1/x^3 )+(5/x^5 ))))))/(lim(((x^2 (1+(2/x)−(1/x^2 )))/(x^2 (1+(2/x)+(1/x^2 ))))))  =((lim((x^4 /x^5 )))/(lim((x^2 /x^2 ))))=((lim((1/x)))/1)=lim_(x→∞)  ((1/x))=0
$$\mathrm{L}=\mathrm{lim}\left(…\right) \\ $$$$\mathrm{lnL}=\mathrm{lim}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right).\mathrm{ln}\left(\mathrm{lim}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{lim}\left(\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}\right)\right)}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{lim}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)}}=\frac{\mathrm{lim}\left(\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)\right)}{\mathrm{lim}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{lim}\left(\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{2x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}\right)}\right)}{\mathrm{lim}\left(\frac{\mathrm{2x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{lim}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}}\right)}{\mathrm{lim}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)}=\frac{\mathrm{lim}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} \left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} }\right)}\right)}{\mathrm{lim}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right.}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{lim}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} }\right)}{\mathrm{lim}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)}=\frac{\mathrm{lim}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)}{\mathrm{1}}=\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)=\mathrm{0}\: \\ $$

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