Question Number 98880 by Ar Brandon last updated on 16/Jun/20
$$\mathcal{G}\mathrm{iven}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sequence}\:\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right)_{\mathrm{n}\in\mathbb{N}^{\ast} } \:\mathrm{defined}\:\mathrm{by}\:\begin{cases}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }\:\mathrm{if}\:\mathrm{n}\equiv\mathrm{0mod}\left(\mathrm{3}\right)}\\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} }+\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{if}\:\mathrm{n}\equiv\mathrm{1mod}\left(\mathrm{3}\right)}\\{\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\mathrm{if}\:\mathrm{n}\equiv\mathrm{2mod}\left(\mathrm{3}\right)}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{a}\backslash\mathcal{D}\mathrm{etermine}\:\mathrm{the}\:\mathrm{first}−\mathrm{8}^{\mathrm{th}} \:\mathrm{terms}\:\mathrm{of}\:\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right)_{\mathrm{n}\in\mathbb{N}^{\ast} } \\ $$$$\mathrm{b}\backslash\mathcal{S}\mathrm{how}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sequences}\:\left(\mathrm{v}_{\mathrm{n}} \right)_{\mathrm{n}\in\mathbb{N}} ,\:\left(\mathrm{w}_{\mathrm{n}} \right)_{\mathrm{n}\in\mathbb{N}} ,\:\mathrm{and}\:\left(\mathrm{z}_{\mathrm{n}} \right)_{\mathrm{n}\in\mathbb{N}} \\ $$$$\mathrm{where}\:\mathrm{v}_{\mathrm{n}} =\mathrm{u}_{\mathrm{3n}} ,\:\mathrm{w}_{\mathrm{n}} =\mathrm{u}_{\mathrm{3n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{z}_{\mathrm{n}} =\mathrm{u}_{\mathrm{3n}+\mathrm{2}\:} \mathrm{are}\:\mathrm{convervent} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{find}\:\mathrm{their}\:\mathrm{respective}\:\mathrm{limits} \\ $$$$\mathrm{c}\backslash\mathcal{D}\mathrm{educe}\:\mathrm{the}\:\mathrm{nature}\:\mathrm{of}\:\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right)_{\mathrm{n}\in\mathbb{N}^{\ast} } \\ $$