Question Number 98884 by mathmax by abdo last updated on 16/Jun/20
$$\mathrm{calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{lnx}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }\mathrm{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 17/Jun/20
![I =∫_0 ^∞ ((lnx)/((x+1)^4 ))dx ⇒ I =∫_0 ^1 ((lnx)/((1+x)^4 ))dx +∫_1 ^∞ ((lnx)/((1+x)^4 ))dx(→x=(1/t)) =∫_0 ^1 ((lnx)/((1+x)^4 )) +−∫_0 ^1 ((−lnt)/((1+(1/t))^4 ))(((−dt)/t^2 ))=∫_0 ^1 ((lnx)/((1+x)^4 )) −∫_0 ^1 ((t^2 lnt)/((1+t)^4 ))dt =∫_0 ^1 (((1−x^2 )lnx)/((1+x)^4 )) dx we have (1/(1+x)) =Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n x^n ⇒ −(1/((1+x)^2 )) =Σ_(n=1) ^∞ n(−1)^n x^(n−1) =Σ_(n=0) ^∞ (n+1)(−1)^(n+1) x^n ⇒ (1/((1+x)^2 )) =Σ_(n=0) ^∞ (n+1)(−1)^n x^n ⇒−((2(1+x))/((1+x)^4 )) =Σ_(n=1) ^∞ n(n+1)(−1)^n x^(n−1) ⇒ −(2/((1+x)^3 )) =Σ_(n=0) ^∞ (n+1)(n+2)(−1)^(n+1) x^n ⇒ (2/((1+x)^3 )) =Σ_(n=0) ^∞ (n+1)(n+2)(−1)^n x^n ⇒ −((2.3(1+x)^2 )/((1+x)^6 )) =Σ_(n=1) ^∞ n(n+1)(n+2)(−1)^n x^(n−1) ⇒ −(6/((1+x)^4 )) =Σ_(n=0) ^∞ (n+1)(n+2)(n+3)(−1)^(n+1) x^n ⇒ (6/((1+x)^4 )) =Σ_(n=0) ^∞ (n+1)(n+2)(n+3)(−1)^n x^n =Σ_(n=0) ^∞ (n^2 +3n +2)(n+3)(−1)^n x^n =Σ_(n=0) ^∞ (n^3 +3n^2 +3n^2 +9n +2n+3)(−1)^n x^n =Σ_(n=0) ^∞ (n^3 +6n^2 +11n +3)(−1)^n x^n ⇒ 6 ∫_0 ^1 (((1−x^2 )lnx)/((1+x)^4 ))dx =6 ∫_0 ^1 Σ_(n=0) ^∞ (n^3 +6n^2 +11n +3)(−1)^n x^n (1−x^2 )lnx dx =6Σ_(n=0) ^∞ (n^3 +6n^2 +11n +3)(−1)^n ∫_0 ^1 (x^n −x^(n+2) )lnx dx by parts ∫_0 ^1 (x^n −x^(n+2) )lnx dx =[((x^(n+1) /(n+1))−(x^(n+3) /(n+3)))lnx]_0 ^1 −∫_0 ^1 ((x^n /(n+1))−(x^(n+2) /(n+3)))dx =−(1/((n+1)^2 )) +(1/((n+3)^2 )) ⇒ 6 ∫_0 ^1 (((1−x^2 )lnx)/((1+x)^4 )) dx =6 Σ_(n=0) ^∞ (n^3 +6n^2 +11n +3)(−1)^n ((1/((n+3)^2 ))−(1/((n+1)^2 ))) ...be continued...](https://www.tinkutara.com/question/Q98935.png)
$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{lnx}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }\mathrm{dx}\:\Rightarrow\:\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{lnx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{4}} }\mathrm{dx}\:+\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{lnx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{4}} }\mathrm{dx}\left(\rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right) \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{lnx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{4}} }\:+−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{−\mathrm{lnt}}{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{4}} }\left(\frac{−\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{lnx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{4}} }\:−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \mathrm{lnt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{4}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{lnx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{4}} }\:\mathrm{dx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow−\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{4}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$$−\frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$−\frac{\mathrm{2}.\mathrm{3}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{6}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$$−\frac{\mathrm{6}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{4}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{6}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{4}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \: \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3n}\:+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9n}\:+\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{11n}\:+\mathrm{3}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{6}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{lnx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{4}} }\mathrm{dx}\:=\mathrm{6}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{11n}\:+\mathrm{3}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{lnx}\:\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{6}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{6n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{11n}\:+\mathrm{3}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:−\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \right)\mathrm{lnx}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{by}\:\mathrm{parts}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \right)\mathrm{lnx}\:\mathrm{dx}\:=\left[\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{3}} }{\mathrm{n}+\mathrm{3}}\right)\mathrm{lnx}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} }{\mathrm{n}+\mathrm{3}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{6}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{lnx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{4}} }\:\mathrm{dx}\:=\mathrm{6}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{11n}\:+\mathrm{3}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\:…\mathrm{be}\:\mathrm{continued}… \\ $$
Answered by maths mind last updated on 18/Jun/20
![let f(n)=∫_0 ^(+∞) ((ln(x))/((x+1)^n ))dx....cv for n≥2 we want f(4) f(n+1)=∫_0 ^(+∞) ((ln(x)dx)/((1+x)^(n+1) )) =[((xln(x)−x)/((1+x)^(n+1) ))]_0 ^(+∞) −(n+1)∫_0 ^(+∞) ((xln(x)−x)/((1+x)^(n+2) ))dx ⇒∫_0 ^(+∞) ((ln(x)dx)/((1+x)^(n+1) ))=−(n+1)∫_0 ^(+∞) {((ln(x))/((1+x)^(n+1) )) −((ln(x))/((1+x)^(n+2) ))}dx +(n+1)∫_0 ^(+∞) ((1/((1+x)^(n+1) ))−(1/((1+x)^(n+2) )))dx ⇒f(n+1)=−(n+1)f(n+1)+(n+1)f(n+2)+(n+1)[((−1)/(n(1+x)^n ))+(1/((n+1)(1+x)^(n+1) ))]_0 ^(+∞) ⇒(n+2)f(n+1)=(n+1)f(n+2)+(n+1)((1/n)−(1/(n+1))) ⇒(n+1)f(n)=nf(n+1)+(1/(n−1)) ⇒((f(n))/n)=((f(n+1))/(n+1))+(1/(n(n−1)(n+1))) ⇒Σ_(k≥2) (((f(k+1))/(k+1))−((f(k))/k))=Σ_(k≥2) (1/(k(k−1)(k+1))) ⇒((f(n))/n)−((f(2))/2)=Σ_(k=2) ^(n−1) .(1/((k−1)k(k+1)))=Σ_(k=2) ^(n−1) ((1/(2(k−1)))−(1/k)+(1/(2(k+1)))) =−(1/(2(n−1)))+(1/2)−(1/4)+(1/(2n))=((−2n+n(n−1)+2(n−1))/(4n(n−1)))=((n^2 −n−2)/(4n(n−1))) f(2)=∫_0 ^(+∞) ((ln(x))/((1+x)^2 ))dx=∫_∞ ^0 ((ln((1/x))x^2 )/((1+x)^2 )).((−dx)/x^2 )⇒f(2)=0 ((f(n))/n)=((n^2 −n−2)/(4n(n−1)))⇒f(n)=((n^2 −n−2)/(4(n−1))) ∫_0 ^(+∞) ((ln(x)dx)/((1+x)^4 ))=f(4)=((4^2 −4−2)/(4(4−1)))=((10)/(4.3))=(5/6)](https://www.tinkutara.com/question/Q99012.png)
$${let}\: \\ $$$${f}\left({n}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{{ln}\left({x}\right)}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}} }{dx}….{cv}\:{for}\:{n}\geqslant\mathrm{2} \\ $$$${we}\:{want}\:{f}\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$${f}\left({n}+\mathrm{1}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{{ln}\left({x}\right){dx}}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }\:\:=\left[\frac{{xln}\left({x}\right)−{x}}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }\right]_{\mathrm{0}} ^{+\infty} −\left({n}+\mathrm{1}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{{xln}\left({x}\right)−{x}}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}+\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{{ln}\left({x}\right){dx}}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }=−\left({n}+\mathrm{1}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \left\{\frac{{ln}\left({x}\right)}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }\:−\frac{{ln}\left({x}\right)}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}+\mathrm{2}} }\right\}{dx} \\ $$$$+\left({n}+\mathrm{1}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}+\mathrm{2}} }\right){dx} \\ $$$$\Rightarrow{f}\left({n}+\mathrm{1}\right)=−\left({n}+\mathrm{1}\right){f}\left({n}+\mathrm{1}\right)+\left({n}+\mathrm{1}\right){f}\left({n}+\mathrm{2}\right)+\left({n}+\mathrm{1}\right)\left[\frac{−\mathrm{1}}{{n}\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}} }+\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }\right]_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \\ $$$$\Rightarrow\left({n}+\mathrm{2}\right){f}\left({n}+\mathrm{1}\right)=\left({n}+\mathrm{1}\right){f}\left({n}+\mathrm{2}\right)+\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\left({n}+\mathrm{1}\right){f}\left({n}\right)={nf}\left({n}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{f}\left({n}\right)}{{n}}=\frac{{f}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{{n}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{k}\geqslant\mathrm{2}} {\sum}\left(\frac{{f}\left({k}+\mathrm{1}\right)}{{k}+\mathrm{1}}−\frac{{f}\left({k}\right)}{{k}}\right)=\underset{{k}\geqslant\mathrm{2}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{k}\left({k}−\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{f}\left({n}\right)}{{n}}−\frac{{f}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}}=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}.\frac{\mathrm{1}}{\left({k}−\mathrm{1}\right){k}\left({k}+\mathrm{1}\right)}=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({k}−\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{{k}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({k}+\mathrm{1}\right)}\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}=\frac{−\mathrm{2}{n}+{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{4}{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}=\frac{{n}^{\mathrm{2}} −{n}−\mathrm{2}}{\mathrm{4}{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$${f}\left(\mathrm{2}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{{ln}\left({x}\right)}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{2}} }{dx}=\int_{\infty} ^{\mathrm{0}} \frac{{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right){x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{2}} }.\frac{−{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} }\Rightarrow{f}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{{f}\left({n}\right)}{{n}}=\frac{{n}^{\mathrm{2}} −{n}−\mathrm{2}}{\mathrm{4}{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}\Rightarrow{f}\left({n}\right)=\frac{{n}^{\mathrm{2}} −{n}−\mathrm{2}}{\mathrm{4}\left({n}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{{ln}\left({x}\right){dx}}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{4}} }={f}\left(\mathrm{4}\right)=\frac{\mathrm{4}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}−\mathrm{2}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{4}−\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{4}.\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$