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calculate-n-2-n-3-1-n-3-1-

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Question Number 99920 by abdomathmax last updated on 24/Jun/20
calculate Π_(n=2) ^∞ ((n^3 −1)/(n^3 +1))
$$\mathrm{calculate}\:\prod_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \frac{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}} \\ $$
Answered by maths mind last updated on 24/Jun/20
=Π_(n=2) ^(+∞) (((n−1)(n^2 +n+1))/((n+1)(n^2 −n+1))) S=Π_(n=2) ^m (((n−1)(n^2 +n+1))/((n+1)(n^2 −n+1)))=(2/(m(m+1))).Π_(n=2) ^m (((n^2 +n+1))/((n^2 −n+1)))..E n^2 −n+_(n=t+1) 1=(t+1)^2 −(t+1)+1=t^2 +t+1 E⇔((Π_(n=2) ^m (n^2 +n+1))/(Π_(t=1) ^(m−1) (t^2 +t+1)))=((m^2 +m+1)/3) S=((2(m^2 +m+1))/(3(m^2 +m))) S→(2/3)
$$=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{+\infty} {\prod}}\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}^{\mathrm{2}} +{n}+\mathrm{1}\right)}{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}^{\mathrm{2}} −{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$${S}=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{{m}} {\prod}}\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}^{\mathrm{2}} +{n}+\mathrm{1}\right)}{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}^{\mathrm{2}} −{n}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{2}}{{m}\left({m}+\mathrm{1}\right)}.\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{{m}} {\prod}}\frac{\left({n}^{\mathrm{2}} +{n}+\mathrm{1}\right)}{\left({n}^{\mathrm{2}} −{n}+\mathrm{1}\right)}..{E} \\ $$$${n}^{\mathrm{2}} −{n}\underset{{n}={t}+\mathrm{1}} {+}\mathrm{1}=\left({t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\left({t}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}={t}^{\mathrm{2}} +{t}+\mathrm{1} \\ $$$${E}\Leftrightarrow\frac{\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{{m}} {\prod}}\left({n}^{\mathrm{2}} +{n}+\mathrm{1}\right)}{\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}−\mathrm{1}} {\prod}}\left({t}^{\mathrm{2}} +{t}+\mathrm{1}\right)}=\frac{{m}^{\mathrm{2}} +{m}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${S}=\frac{\mathrm{2}\left({m}^{\mathrm{2}} +{m}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}\left({m}^{\mathrm{2}} +{m}\right)} \\ $$$${S}\rightarrow\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 24/Jun/20
thank you sir.
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}. \\ $$
Answered by Smail last updated on 24/Jun/20
A=Π_(n=2) ^∞ (((n−1)(n^2 +n+1))/((n+1)(n^2 −n+1))) =Π_(n=2) ^∞ ((n−1)/(n^2 −n+1))Π_(n=2) ^∞ (1/(n+1))Π_(n=2) ^∞ (n^2 +n+1) Π_(n=2) ^∞ (1/(n+1))=Π_(n=4) ^∞ (1/(n−1))=2Π_(n=2) ^∞ (1/(n−1)) And n^2 +n+1=m^2 −m+1 ⇒m^2 −m=n^2 +n ⇒(m−(1/2))^2 =(n+(1/2))^2 ⇒m=n+1 So, Π_(n=2) ^∞ (n^2 +n+1)=Π_(m=3) ^∞ (m^2 −m+1) =Π_(n=2) ^∞ (n^2 −n+1)×(1/3) A=Π_(n=2) ^∞ ((n−1)/(n^2 −n+1))∙2Π_(n=2) ^∞ (1/(n−1))∙(1/3)Π_(n=2) ^∞ (n^2 −n+1) =(2/3)Π_(n=2) ^∞ (((n−1)(n^2 −n+1))/((n−1)(n^2 −n+1)))=(2/3) Π_(n=2) ^∞ ((n^3 −1)/(n^3 +1))=(2/3)
$${A}=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\prod}}\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}^{\mathrm{2}} +{n}+\mathrm{1}\right)}{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}^{\mathrm{2}} −{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\prod}}\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} −{n}+\mathrm{1}}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\prod}}\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\prod}}\left({n}^{\mathrm{2}} +{n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\prod}}\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}=\underset{{n}=\mathrm{4}} {\overset{\infty} {\prod}}\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}}=\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\prod}}\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$${And}\:\:{n}^{\mathrm{2}} +{n}+\mathrm{1}={m}^{\mathrm{2}} −{m}+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{m}^{\mathrm{2}} −{m}={n}^{\mathrm{2}} +{n} \\ $$$$\Rightarrow\left({m}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\left({n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \Rightarrow{m}={n}+\mathrm{1} \\ $$$${So},\:\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\prod}}\left({n}^{\mathrm{2}} +{n}+\mathrm{1}\right)=\underset{{m}=\mathrm{3}} {\overset{\infty} {\prod}}\left({m}^{\mathrm{2}} −{m}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\prod}}\left({n}^{\mathrm{2}} −{n}+\mathrm{1}\right)×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${A}=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\prod}}\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} −{n}+\mathrm{1}}\centerdot\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\prod}}\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\prod}}\left({n}^{\mathrm{2}} −{n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\prod}}\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}^{\mathrm{2}} −{n}+\mathrm{1}\right)}{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}^{\mathrm{2}} −{n}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\prod}}\frac{{n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 25/Jun/20
let A_n =Π_(k=2) ^n ((k^3 −1)/(k^3 +1)) ⇒ A_n =Π_(k=2) ^n ((k−1)/(k+1)) Π_(k=2) ^n ((k^2 +k+1)/(k^2 −k+1)) we have Π_(k=2) ^n ((k−1)/(k+1)) =(1/3)×(2/4)×(3/5)×....((n−1)/(n+1)) =((2(n−1)!)/((n+1)!)) =(2/(n(n+1))) ⇒ln(A_n ) =ln2−ln(n^2 +n)+Σ_(k=2) ^n {ln(k^2 +k+1)−ln(k^2 −k+1)} =ln(2)−ln(n^2 +n)+Σ_(k=2) ^n { x_k −x_(k−1) } with x_k =ln(k^2 +k+1) =ln2−ln(n^2 +n) +x_2 −x_1 +x_3 −x_2 +....+x_n −x_(n−1) =ln2−ln(n^2 +n)+x_n −x_1 =ln(2)−ln(n^2 +n)+ln(n^2 +n+1)−ln(3) =ln((2/3))+ln(((n^2 +n+1)/(n^2 +n))) ⇒ lim_(n→+∞) ln(A_n ) =ln((2/3)) ⇒lim_(n→+∞) A_n =(2/3)
$$\mathrm{let}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{k}−\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\:\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{k}+\mathrm{1}}{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{k}−\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}×\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}×….\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)!}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \right)\:=\mathrm{ln2}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}\right)+\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} \:\left\{\mathrm{ln}\left(\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\right\} \\ $$$$=\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}\right)+\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} \:\left\{\:\mathrm{x}_{\mathrm{k}} −\mathrm{x}_{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \right\}\:\:\mathrm{with}\:\mathrm{x}_{\mathrm{k}} =\mathrm{ln}\left(\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{k}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\mathrm{ln2}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}\right)\:+\mathrm{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{x}_{\mathrm{3}} −\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \:+….+\mathrm{x}_{\mathrm{n}} −\mathrm{x}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\mathrm{ln2}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}\right)+\mathrm{x}_{\mathrm{n}} −\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{n}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{3}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)+\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{n}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \mathrm{ln}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \right)\:=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$

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