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calculate-k-0-n-C-n-k-k-1-2-




Question Number 100236 by mathmax by abdo last updated on 25/Jun/20
calculate Σ_(k=0) ^n  (C_n ^k /((k+1)^2 ))
$$\mathrm{calculate}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 27/Jun/20
let f(x) =Σ_(k=0) ^n  (C_n ^k /(k+1)) x^k  ⇒ ∫_0 ^x  f(t)dt =Σ_(k=0) ^n  (C_n ^k /((k+1)^2 )) x^(k+1)   let explicite f(x)  we have  Σ_(k=0) ^n  C_n ^k  x^(k ) =(x+1)^(n )  ⇒  Σ_(k=0) ^n  (C_n ^k /(k+1))x^(k+1)  =(1/(n+1))(x+1)^(n+1)  +c  x=0 ⇒0 =(1/(n+1))+c ⇒c =−(1/(n+1)) ⇒Σ_(k=0) ^n  (C_n ^k /(k+1))x^(k+1)  =(((x+1)^(n+1) −1)/(n+1)) ⇒  f(x) =(((x+1)^(n+1) −1)/((n+1)x)) ⇒Σ_(k=0) ^n  (C_n ^k /((k+1)^2 ))x^(k+1)  =(1/(n+1))∫_0 ^x  (((t+1)^(n+1) −1)/t)dt  ⇒Σ_(k=0) ^n  (C_n ^k /((k+1)^2 )) =(1/(n+1)) ∫_0 ^1  (((t+1)^(n+1) −1)/t)dt  we have  (t+1)^(n+1) −1 =t(1+(t+1)+(t+1)^2 +.....(t+1)^n ) ⇒  (((t+1)^(n+1) −1)/t) =1 +(t+1)+(t+1)^2  +....(t+1)^n   ⇒  ∫_0 ^1  (((t+1)^(n+1) −1)/t)dt =∫_0 ^1 (1+(t+1)+(t+1)^2  +...+(t+1)^n )dt  =[t +(((t+1)^2 )/2) +(((t+1)^3 )/3) +.....(((t+1)^(n+1) )/(n+1))]_0 ^1   =1+(2^2 /2) +(2^3 /3) +.....+(2^(n+1) /(n+1))−(1/2)−(1/3)−....−(1/(n+1)) ⇒  Σ_(k=0) ^n  (C_n ^k /((k+1)^2 )) =(1/(n+1)){ 2+(2^2 /2) +(2^3 /3)+....+(2^(n+1) /(n+1))−H_(n+1) }
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\:\mathrm{x}^{\mathrm{k}} \:\Rightarrow\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{x}^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{explicite}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{k}\:} =\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}\:} \:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\mathrm{x}^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{0}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{c}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\mathrm{x}^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \:=\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}}\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{x}^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\mathrm{dt} \\ $$$$\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\:=\mathrm{t}\left(\mathrm{1}+\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +…..\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \right)\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\:=\mathrm{1}\:+\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+….\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+…+\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\left[\mathrm{t}\:+\frac{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:+\frac{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\:+…..\frac{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\:+…..+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−….−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\left\{\:\mathrm{2}+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}+….+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \right\} \\ $$

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