Question Number 35425 by Rio Mike last updated on 18/May/18
$$\:{Given}\:{that}\:{a}\:{number}\:{is}\:{a}\:{factor}\: \\ $$$${of}\:\mathrm{144}\:{and}\:{the}\:{square}\:{of}\:{the}\:{number} \\ $$$${added}\:{to}\:{five}\:{times}\:{the}\:{number} \\ $$$${is}\:\geqslant\:−\mathrm{6}\:{find}\:{the}\:{number} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 19/May/18
$$\mathrm{n}\mid\mathrm{144}\:\wedge\:\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5n}\geqslant−\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5n}+\mathrm{6}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)=\mathrm{0}\:\:\mid\:\:^{\ast} \left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\:\mathrm{n}=−\mathrm{2}\:\mid\:\mathrm{n}=−\mathrm{3}………\mathrm{I} \\ $$$$\:^{\ast} \left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\mathrm{n}+\mathrm{2}>\mathrm{0}\:\wedge\:\mathrm{n}+\mathrm{3}>\mathrm{0}\:\mid\:\mathrm{n}+\mathrm{2}<\mathrm{0}\:\wedge\:\mathrm{n}+\mathrm{3}<\mathrm{0} \\ $$$$\:\mathrm{n}>−\mathrm{2}\:\wedge\:\mathrm{n}>−\mathrm{3}\:\:\mid\:\mathrm{n}<−\mathrm{2}\:\wedge\:\mathrm{n}<−\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{n}>−\mathrm{2}\:\:\mid\:\:\mathrm{n}<−\mathrm{3}………..\mathrm{II} \\ $$$$\mathrm{I}\:\&\:\mathrm{II}:\:\:\mathrm{n}\geqslant−\mathrm{2}\:\:\mathrm{or}\:\:\mathrm{n}\leqslant−\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{Hence} \\ $$$$\:\mathrm{Factors}\:\mathrm{of}\:\mathrm{144}\:\geqslant−\mathrm{2}\:\mathrm{or}\:\leqslant−\mathrm{3} \\ $$$$\:\left\{,..−\mathrm{8}−\mathrm{6}\:,−\mathrm{4},−\mathrm{3},−\mathrm{2},−\mathrm{1},\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4},\mathrm{6},\mathrm{8}….\right\} \\ $$$$=\left\{\pm\mathrm{1},\pm\mathrm{2},\pm\mathrm{3},\pm\mathrm{4},\pm\mathrm{6},\pm\mathrm{8},\pm\mathrm{9},….\right\} \\ $$$$\mathrm{Or}\:\mathrm{All}\:\mathrm{the}\:\mathrm{factors}\:\mathrm{of}\:\mathrm{144} \\ $$