Question Number 100971 by john santu last updated on 29/Jun/20
$$\mathrm{A}\:\mathrm{woman}\:\mathrm{sent}\:\mathrm{8}\:\mathrm{letters}\:\mathrm{to}\:\mathrm{her}\: \\ $$$$\mathrm{friends}.\:\mathrm{The}\:\mathrm{letters}\:\mathrm{are}\:\mathrm{kept}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{addressed}\:\mathrm{envelopes}\:\mathrm{at}\:\mathrm{random}.\: \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{probability}\:\mathrm{that}\:\mathrm{4}\:\mathrm{friends}\: \\ $$$$\mathrm{receive}\:\mathrm{correct}\:\mathrm{letters}\:\mathrm{and}\:\mathrm{4}\:\mathrm{letters}\: \\ $$$$\mathrm{go}\:\mathrm{to}\:\mathrm{wrong}\:\mathrm{destination},\:\mathrm{is}\:\_\_\_\: \\ $$
Answered by 1549442205 last updated on 01/Jul/20
$$\mathrm{There}\:\:\mathrm{are}\:\mathrm{C}_{\mathrm{8}} ^{\mathrm{4}} \:\mathrm{ways}\:\mathrm{to}\:\mathrm{choose}\:\mathrm{set}\:\mathrm{of}\:\mathrm{four}\: \\ $$$$\mathrm{friends}\:\mathrm{that}\:\mathrm{woman}\:\mathrm{send}\:\mathrm{correctly}.\mathrm{For} \\ $$$$\mathrm{set}\:\mathrm{of}\:\mathrm{four}\:\mathrm{remaining}\:\mathrm{friends}\:\mathrm{there}\:\mathrm{are}\: \\ $$$$\mathrm{12}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{that}\:\mathrm{woman}\:\mathrm{send}\:\mathrm{false}\: \\ $$$$\left(\mathrm{4}\:\mathrm{remaining}\:\mathrm{letters}\:\mathrm{didn}'\mathrm{t}\:\mathrm{go}\:\mathrm{to}\:\mathrm{true}\:\right. \\ $$$$\left.\mathrm{addresses}\right)\mathrm{while}\:\mathrm{there}\:\mathrm{are}\:\mathrm{a}\:\mathrm{total}\:\mathrm{8}!\: \\ $$$$\mathrm{ways}\:\mathrm{to}\:\mathrm{put}\:\mathrm{letters}\:\mathrm{into}\:\mathrm{8}\:\: \\ $$$$\mathrm{addressed}\:\mathrm{envelopes}.\mathrm{So},\mathrm{P}=\frac{\mathrm{12}.\mathrm{C}_{\mathrm{8}} ^{\mathrm{4}} }{\mathrm{8}!}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{48}} \\ $$$$ \\ $$