Question Number 166699 by qaz last updated on 25/Feb/22
$$\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\underset{\mathrm{k}=\mathrm{n}} {\overset{\mathrm{2n}} {\sum}}\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{k}}=? \\ $$
Answered by mathsmine last updated on 25/Feb/22
$$\:{x}−\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\leqslant{sin}\left({x}\right)\leqslant{x}……{E} \\ $$$$\underset{{k}={n}} {\overset{\mathrm{2}{n}} {\sum}}\frac{\pi}{{k}}=\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\pi}{{n}+{k}}=\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\pi}{\mathrm{1}+\frac{{k}}{{n}}}={S}_{{n}} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{S}_{{n}} =\pi\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{dx}}{\mathrm{1}+{x}}=\pi{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\underset{{k}={n}} {\overset{\mathrm{2}{n}} {\sum}}\left(_{} \frac{\pi}{{n}+{k}}\right)^{\mathrm{3}} ={T}_{{n}} \leqslant\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}{n}}\right)^{\mathrm{3}} =\frac{\pi^{\mathrm{3}} }{\mathrm{8}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{3}} }\right) \\ $$$${E}\Rightarrow \\ $$$${S}_{{n}} −\frac{{T}_{{n}} }{\mathrm{6}}\leqslant\underset{{k}={n}} {\overset{\mathrm{2}{n}} {\sum}}{sin}\left(\frac{\pi}{{k}}\right)\leqslant{S}_{{n}} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{S}_{{n}} −\frac{{T}_{{n}} }{\mathrm{6}}\leqslant\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\underset{{n}} {\overset{\mathrm{2}{n}} {\sum}}{sin}\left(\frac{\pi}{{k}}\right)\leqslant\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{S}_{{n}} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\underset{{k}={n}} {\overset{\mathrm{2}{n}} {\sum}}{sin}\left(\frac{\pi}{{k}}\right)=\pi{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$ \\ $$