Question Number 101409 by PRITHWISH SEN 2 last updated on 02/Jul/20
$$\mathrm{which}\:\mathrm{is}\:\mathrm{correct} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{5x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4x}^{\mathrm{5}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:\mathrm{is}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{to} \\ $$$$\left.\mathrm{a}\left.\right)\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{b}\right)−\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 02/Jul/20
$$\int\frac{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4}{x}^{\mathrm{5}} }{\left({x}^{\mathrm{5}} +{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\int\frac{\frac{\mathrm{5}}{{x}^{\mathrm{6}} }+\frac{\mathrm{4}}{{x}^{\mathrm{5}} }}{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} }+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }\right)^{\mathrm{2}} }=−\mathrm{1}\int\frac{−\mathrm{1}\left(\frac{\mathrm{5}}{{x}^{\mathrm{6}} }+\frac{\mathrm{4}}{{x}^{\mathrm{5}} }\right)}{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} }+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} }+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }\right)}+{C}\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{{x}^{\mathrm{5}} }{{x}^{\mathrm{5}} +{x}+\mathrm{1}}+{C} \\ $$$${No}\:{option}\:{is}\:{correct}\:{because}\:{there}\:{is}\:{Constant}\:\: \\ $$$${Option}\:\:{a},{b} \\ $$$$\:{Or}\:{both}\:{correct}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$