Question Number 101846 by bemath last updated on 05/Jul/20
Answered by bramlex last updated on 05/Jul/20
$$\Leftrightarrow\:\frac{{dy}}{{dx}}\:−\mathrm{2}{x}^{−\mathrm{1}} {y}\:=\:{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{cos}\:{x} \\ $$$${integrating}\:{factor}\:\:{u}\:=\:{e}^{\int−\mathrm{2}{x}^{−\mathrm{1}} \:{dx}} \\ $$$${u}\:=\:{e}\:^{−\mathrm{2}\:\mathrm{ln}\left({x}\right)} \:=\:{x}^{−\mathrm{2}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{y}\:=\:\frac{\int\:{x}^{−\mathrm{2}} .{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\:{x}\:{dx}}{{x}^{−\mathrm{2}} } \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{y}\:=\:{x}^{\mathrm{2}} \:\left\{\:\mathrm{sin}\:{x}\:+\:{C}\:\right\}\: \\ $$$$\mathrm{y}\:=\:{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sin}\:{x}\:+\:{Cx}^{\mathrm{2}} \: \\ $$$$\left({B}\mathrm{ram}−\square\:\right)\: \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 05/Jul/20
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{y}^{'} −\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{y}\:=\mathrm{xcosx}\:\Rightarrow\mathrm{xy}^{'} \:−\mathrm{2y}\:=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{cosx}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{x}>\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{he}\:\rightarrow\mathrm{xy}^{'} −\mathrm{2y}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{xy}^{'} \:=\mathrm{2y}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{y}^{'} }{\mathrm{y}}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\:\Rightarrow\mathrm{ln}\mid\mathrm{y}\mid\:=\mathrm{2lnx}\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{k}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\mathrm{lsgrange}\:\mathrm{method}\:\rightarrow\mathrm{y}^{'} \:=\mathrm{k}^{'} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2kx} \\ $$$$\mathrm{e}\:\Rightarrow\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2kx}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{2kx}^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{cosx}\:\Rightarrow\mathrm{k}^{'} \:=\mathrm{cosx}\:\Rightarrow\mathrm{k}\:=\mathrm{sinx}\:+\lambda\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\mathrm{sinx}\:+\lambda\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:=\lambda\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sinx} \\ $$