Question Number 69082 by Henri Boucatchou last updated on 19/Sep/19
$$\boldsymbol{{Solve}}\:\:\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{16}^{\boldsymbol{{x}}} \\ $$
Commented by MJS last updated on 19/Sep/19
$${f}\left({x}\right)=\mathrm{16}^{{x}} −{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$${f}\left(−\mathrm{1}\right)=−\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{16}} \\ $$$${f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$${f}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$${f}'\left({x}\right)=\mathrm{16}^{{x}} \mathrm{4ln}\:\mathrm{2}\:−\mathrm{2}{x}\:>\mathrm{0}\:\forall{x}\in\mathbb{R}\:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{no}\:\mathrm{other}\:\mathrm{real}\:\mathrm{solution} \\ $$
Answered by mr W last updated on 19/Sep/19
$${x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{16}^{{x}} =\mathrm{2}^{\mathrm{4}{x}} \\ $$$${x}=\pm\mathrm{2}^{\mathrm{2}{x}} \\ $$$${x}=\pm{e}^{\mathrm{2}{x}\mathrm{ln}\:\mathrm{2}} \\ $$$${xe}^{−\mathrm{2}{x}\mathrm{ln}\:\mathrm{2}} =\pm\mathrm{1} \\ $$$$\left(−\mathrm{2}{x}\mathrm{ln}\:\mathrm{2}\right){e}^{−\mathrm{2}{x}\mathrm{ln}\:\mathrm{2}} =\pm\mathrm{2}\:\mathrm{ln}\:\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{2}{x}\mathrm{ln}\:\mathrm{2}={W}\left(\pm\mathrm{2ln}\:\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow{x}=−\frac{{W}\left(\pm\mathrm{2ln}\:\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}\:\mathrm{ln}\:\mathrm{2}} \\ $$$${real}\:{solution}: \\ $$$$\Rightarrow{x}=−\frac{{W}\left(\mathrm{2ln}\:\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}\:\mathrm{ln}\:\mathrm{2}}=−\frac{\mathrm{0}.\mathrm{693147}}{\mathrm{2ln}\:\mathrm{2}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$