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sinx-dy-dx-2ycosx-3sinx-

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Question Number 102283 by Ar Brandon last updated on 08/Jul/20
sinx(dy/dx)−2ycosx=3sinx
$$\mathrm{sinx}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}−\mathrm{2ycosx}=\mathrm{3sinx} \\ $$
Answered by john santu last updated on 08/Jul/20
(dy/dx) −2cot x.y = 3 IF ⇒u(x)=e^(∫ −2cot x dx ) = e^(−2ln(sin x)) =csc^2 x ⇔y = ((∫3 csc^2 x dx + C )/(csc^2 x)) y = ((−3cot x +C)/(csc^2 x)) y = −3cot x.sin^2 x + C.sin^2 x (JS ⊛)
$$\frac{{dy}}{{dx}}\:−\mathrm{2cot}\:{x}.{y}\:=\:\mathrm{3} \\ $$$${IF}\:\Rightarrow{u}\left({x}\right)={e}^{\int\:−\mathrm{2cot}\:{x}\:{dx}\:} =\:{e}^{−\mathrm{2ln}\left(\mathrm{sin}\:{x}\right)} =\mathrm{csc}^{\mathrm{2}} \:{x} \\ $$$$\Leftrightarrow{y}\:=\:\frac{\int\mathrm{3}\:{c}\mathrm{sc}^{\mathrm{2}} \:{x}\:{dx}\:+\:{C}\:}{\mathrm{csc}^{\mathrm{2}} \:{x}} \\ $$$${y}\:=\:\frac{−\mathrm{3cot}\:{x}\:+{C}}{\mathrm{cs}{c}^{\mathrm{2}} \:{x}}\: \\ $$$${y}\:=\:−\mathrm{3cot}\:{x}.\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}\:+\:{C}.\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x} \\ $$$$\left({JS}\:\circledast\right) \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 08/Jul/20
Thanks Mr John
Answered by Ar Brandon last updated on 08/Jul/20
{sinx(dy/dx)−2ycosx=3sinx}∙(1/(sin^3 x)) ⇒(1/(sin^2 x))∙(dy/dx)−((2ycosx)/(sin^3 x))=(3/(sin^2 x)) ⇒d((y/(sin^2 x)))=(3/(sin^2 x))dx ⇒(y/(sin^2 x))=3∫cosec^2 xdx=−3cotx+C ⇒y=−3sinxcosx+Csin^2 x
$$\left\{\mathrm{sinx}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}−\mathrm{2ycosx}=\mathrm{3sinx}\right\}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\centerdot\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}−\frac{\mathrm{2ycosx}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{d}\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\right)=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}=\mathrm{3}\int\mathrm{cosec}^{\mathrm{2}} \mathrm{xdx}=−\mathrm{3cotx}+\mathcal{C} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=−\mathrm{3sinxcosx}+\mathcal{C}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$
Commented by john santu last updated on 08/Jul/20
great
$${great} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 08/Jul/20
y^′ sinx−2ycosx =3sinx (he)→y^′ sinx =2y cosx ⇒(y^′ /y) =2((cosx)/(sinx)) ⇒ln∣y∣ =2ln∣sinx∣ +c ⇒ y =k sin^2 x mvc method give y^′ =k^′ sin^2 x +2kcosx sinx e⇒k^′ sin^3 x+2k cosx sin^2 x−2cosx)ksin^2 x =3sinx ⇒ k^′ sin^2 x =3 ⇒k^′ =(3/(sin^2 x)) ⇒ k =∫ ((3dx)/(sin^2 x)) =3 ∫ (dx/(1−(1/(tan^2 x+1)))) =3∫ ((1+tan^2 x)/(tan^2 x)) dx =_(tanx =t) 3 ∫ ((1+t^2 )/(t^2 (t^2 +1)))dt =−(3/t)+c =−(3/(tanx)) +c ⇒ y(x) =(−(3/(tanx))+c)sin^2 x =csin^2 x −((3cosx)/(sinx))sin^2 x =c sin^2 x−(3/2)sin(2x)
$$\mathrm{y}^{'} \:\mathrm{sinx}−\mathrm{2ycosx}\:=\mathrm{3sinx} \\ $$$$\left(\mathrm{he}\right)\rightarrow\mathrm{y}^{'} \mathrm{sinx}\:=\mathrm{2y}\:\mathrm{cosx}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{y}^{'} }{\mathrm{y}}\:=\mathrm{2}\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}\:\Rightarrow\mathrm{ln}\mid\mathrm{y}\mid\:=\mathrm{2ln}\mid\mathrm{sinx}\mid\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{k}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\:\:\:\mathrm{mvc}\:\mathrm{method}\:\mathrm{give}\:\mathrm{y}^{'} \:=\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:+\mathrm{2kcosx}\:\mathrm{sinx} \\ $$$$\left.\mathrm{e}\Rightarrow\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}+\mathrm{2k}\:\mathrm{cosx}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{2cosx}\right)\mathrm{ksin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:=\mathrm{3sinx}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:=\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{k}^{'} \:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\:\Rightarrow\:\mathrm{k}\:=\int\:\frac{\mathrm{3dx}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\:=\mathrm{3}\:\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{1}}} \\ $$$$=\mathrm{3}\int\:\:\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\:\mathrm{dx}\:=_{\mathrm{tanx}\:=\mathrm{t}} \:\:\:\mathrm{3}\:\int\:\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt}\:=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{t}}+\mathrm{c}\:=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{tanx}}\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{tanx}}+\mathrm{c}\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:=\mathrm{csin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:−\frac{\mathrm{3cosx}}{\mathrm{sinx}}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$=\mathrm{c}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right) \\ $$

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