2y-y-y-cos-3x-

Question Number 102527 by bemath last updated on 09/Jul/20

$$\mathrm{2}{y}''−{y}'+{y}\:=\:\mathrm{cos}\:\mathrm{3}{x}\: \\ $$

Answered by Ar Brandon last updated on 09/Jul/20

Let y=acos3x+bsin3x ⇒y′=−3asin3x+3bcos3x , y′′=−9acos3x−9bsin3x ⇒−2×9(acos3x+bsin3x)−3(bcos3x−asin3x)+acos3x+bsin3x ⇒(−18a−3b+a)cos3x+(−18b+3a+b)sin3x=cos3x ⇒ { ((−17a−3b=1)),((3a−17b=0)) :} ⇒−17(((17b)/3))−3b=1⇒b=−(3/(298)) , a=((−17)/(298)) Particular integral is; y_(PI) =((−1)/(298))(17cos3x+3sin3x) auxillary equation; 2m^2 −m+1=0 ⇒ m=((1±(√(−7)))/4) ⇒m=(1/4)±((7i)/4) ⇒Complementary function is; y_(CF) =e^(x/4) (c∙cos((7x)/4)+d∙sin((7x)/4)) ∴ y=e^(x/4) (c∙cos((7x)/4)+d∙sin((7x)/4))−(1/(298))(17cos3x+3sin3x) Well this is what I think. I haven′t yet mastered D.E so I may have erred at some point. I′ll like to know you think.

$$\mathrm{Let}\:\mathrm{y}=\mathrm{acos3x}+\mathrm{bsin3x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}'=−\mathrm{3asin3x}+\mathrm{3bcos3x}\:,\:\mathrm{y}''=−\mathrm{9acos3x}−\mathrm{9bsin3x} \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{2}×\mathrm{9}\left(\mathrm{acos3x}+\mathrm{bsin3x}\right)−\mathrm{3}\left(\mathrm{bcos3x}−\mathrm{asin3x}\right)+\mathrm{acos3x}+\mathrm{bsin3x} \\ $$$$\Rightarrow\left(−\mathrm{18a}−\mathrm{3b}+\mathrm{a}\right)\mathrm{cos3x}+\left(−\mathrm{18b}+\mathrm{3a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{sin3x}=\mathrm{cos3x} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{−\mathrm{17a}−\mathrm{3b}=\mathrm{1}}\\{\mathrm{3a}−\mathrm{17b}=\mathrm{0}}\end{cases}\:\Rightarrow−\mathrm{17}\left(\frac{\mathrm{17b}}{\mathrm{3}}\right)−\mathrm{3b}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{b}=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{298}}\:,\:\mathrm{a}=\frac{−\mathrm{17}}{\mathrm{298}} \\ $$$$\mathrm{Particular}\:\mathrm{integral}\:\mathrm{is}; \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{PI}} =\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{298}}\left(\mathrm{17cos3x}+\mathrm{3sin3x}\right) \\ $$$$\mathrm{auxillary}\:\mathrm{equation}; \\ $$$$\mathrm{2m}^{\mathrm{2}} −\mathrm{m}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{m}=\frac{\mathrm{1}\pm\sqrt{−\mathrm{7}}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{m}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\pm\frac{\mathrm{7i}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{Complementary}\:\mathrm{function}\:\mathrm{is}; \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{CF}} =\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{4}}} \left(\mathrm{c}\centerdot\mathrm{cos}\frac{\mathrm{7x}}{\mathrm{4}}+\mathrm{d}\centerdot\mathrm{sin}\frac{\mathrm{7x}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$\therefore\:\mathrm{y}=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{4}}} \left(\mathrm{c}\centerdot\mathrm{cos}\frac{\mathrm{7x}}{\mathrm{4}}+\mathrm{d}\centerdot\mathrm{sin}\frac{\mathrm{7x}}{\mathrm{4}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{298}}\left(\mathrm{17cos3x}+\mathrm{3sin3x}\right) \\ $$$$ \\ $$$${Well}\:{this}\:{is}\:{what}\:{I}\:{think}.\:{I}\:{haven}'{t}\:{yet}\:{mastered}\:{D}.{E} \\ $$$${so}\:{I}\:{may}\:{have}\:{erred}\:{at}\:{some}\:{point}.\:{I}'{ll}\:{like} \\ $$$${to}\:{know}\:{you}\:{think}. \\ $$

Commented by bemath last updated on 10/Jul/20

cooll ��

Commented by Ar Brandon last updated on 10/Jul/20

Alright ��

Answered by mathmax by abdo last updated on 10/Jul/20

(he) →2y^(′′) −y^′ +y =0 →2r^2 −r +1 =0 Δ =1−8=−7 ⇒r_1 =((1+i(√7))/2) and r_2 =((1−i(√7))/2) ⇒y_h =a e^(r_1 x) +b e^(r_2 x) =e^(x/2) { α cos(((√7)/2)x) +βsin(((√7)/2)x)} =α u_1 +β u_2 W(u_1 ,u_2 ) = determinant (((e^(x/2) cos(((√7)/2)x) e^(x/2) sin(((√7)/2)x))),(((1/2)e^(x/2) cos(((√7)/2)x)−((√7)/2)e^(x/2) sin(((√7)/2)x) (1/2)e^(x/2) sin(((√7)/2)x)+((√7)/2) e^(x/2) cos(((√7)/2)x)))) =(1/2)e^x cos(((√7)/2)x)sin(((√7)/2)x) +((√7)/2) e^x cos^2 (((√7)/2)x)−(1/2) e^x cos(((√7)/2)x)sin(((√7)/2)x) +((√7)/2) e^x sin^2 (((√7)/2)x) =((√7)/2) e^x W_1 = determinant (((o e^(x/2) sin(((√7)/2)x))),((cos(3x) (1/2)e^(x/2) sin(((√7)/2)x)+((√7)/2)e^(x/2) cos(((√7)/2)x)))) =−e^(x/2) cos(3x)sin(((√7)/2)x) W_2 = determinant (((e^(x/2) cos(((√7)/2)x) 0)),((.... cos(3x)))) =e^(x/(2 )) cos(3x)cos(((√7)/2)x) v_1 =∫(w_1 /w)dx =−∫ ((e^(x/2) cos(3x)sin(((√7)/2)x))/(((√7)/2) e^x )) =−(2/( (√7))) ∫ e^(−(x/(2 ))) cos(3x)sin(((√7)/2)x)dx v_2 =∫ (w_2 /w) dx =∫ ((e^(x/(2 )) cos(3x)cos(((√7)/2)x))/(((√7)/2)e^x )) dx =(2/( (√7))) ∫ e^(−(x/(2 ))) cos(3x)cos(((√7)/2)x)dx v_1 and v_2 are eazy to slve ⇒y_p =u_1 v_(1 ) +u_2 v_2 the general solution is y =y_h +y_p

$$\left(\mathrm{he}\right)\:\rightarrow\mathrm{2y}^{''} −\mathrm{y}^{'} \:+\mathrm{y}\:=\mathrm{0}\:\rightarrow\mathrm{2r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{r}\:+\mathrm{1}\:=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta\:=\mathrm{1}−\mathrm{8}=−\mathrm{7}\:\Rightarrow\mathrm{r}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{r}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\mathrm{a}\:\mathrm{e}^{\mathrm{r}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}} \:+\mathrm{b}\:\mathrm{e}^{\mathrm{r}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}} \\ $$$$=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left\{\:\alpha\:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\:+\beta\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\right\}\:=\alpha\:\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:+\beta\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)}\\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)−\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)+\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)}\end{vmatrix} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\:+\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right) \\ $$$$+\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\:=\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)}\\{\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)+\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)}\end{vmatrix} \\ $$$$=−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{….\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)}\end{vmatrix}\:=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}\:}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=−\int\:\frac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)}{\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\:=−\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{7}}}\:\int\:\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}\:}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\:\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}\:}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)}{\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\:\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{7}}}\:\int\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}\:}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{v}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{are}\:\mathrm{eazy}\:\mathrm{to}\:\mathrm{slve}\:\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}\:} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\:\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 10/Jul/20

let use laplace transform e ⇒2L(y^(′′) )−L(y^′ ) +L(y) =L(cos(3x)) ⇒ 2{x^2 L(y)−x y(0)−y^′ (0))−{xL(y)−y(o)}+L(y) =L(cos(3x)) ⇒ (2x^2 −x+1)L(y) −2xy(o)−2y^′ (o)+y(o) =L(cos(3x)) ⇒ (2x^2 −x+1)L(y) =2xy(0)+2y^′ (o)−y(o) +L(cos(3x)) L(cos(3x)) =∫_0 ^∞ cos(3t) e^(−xt) dt =Re(∫_0 ^∞ e^((−x+3i)t) dt) we have ∫_0 ^∞ e^((−x+3i)t) dt =[(1/(−x+3i)) e^((−x+3i)t) ]_0 ^∞ =−(1/(−x+3i)) =(1/(x−3i)) =((x+3i)/(x^2 +9)) ⇒ L(cos(3x)) =(x/(x^2 +9)) e ⇒(2x^2 −x+1)L(y) =(x/(x^2 +9)) +2y(o)x +2y^′ (0)−y(0) ⇒ L(y) =(x/((x^2 +9)(2x^2 −x+1))) +2y(o)(x/(2x^2 −x+1)) +((2y^′ (o)−y(o))/(2x^2 −x+1)) ⇒ y(x) =L^(−1) ((x/((x^2 +9)(2x^2 −x+1))))+2y(o)L^(−1) ((x/(2x^2 −x+1)))+(2y^′ (0)−y(o))L^(−1) ((1/(2x^2 −x+1))) ....be continued...

$$\mathrm{let}\:\mathrm{use}\:\mathrm{laplace}\:\mathrm{transform} \\ $$$$\mathrm{e}\:\Rightarrow\mathrm{2L}\left(\mathrm{y}^{''} \right)−\mathrm{L}\left(\mathrm{y}^{'} \right)\:+\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2}\left\{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{x}\:\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\right)−\left\{\mathrm{xL}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{y}\left(\mathrm{o}\right)\right\}+\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:−\mathrm{2xy}\left(\mathrm{o}\right)−\mathrm{2y}^{'} \left(\mathrm{o}\right)+\mathrm{y}\left(\mathrm{o}\right)\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{2xy}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{2y}^{'} \left(\mathrm{o}\right)−\mathrm{y}\left(\mathrm{o}\right)\:+\mathrm{L}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{3t}\right)\:\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \:\mathrm{dt}\:=\mathrm{Re}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}+\mathrm{3i}\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}+\mathrm{3i}\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:=\left[\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{x}+\mathrm{3i}}\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}+\mathrm{3i}\right)\mathrm{t}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:=−\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{x}+\mathrm{3i}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{3i}}\:=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{3i}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{9}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\right)\:=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{9}} \\ $$$$\mathrm{e}\:\Rightarrow\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{9}}\:+\mathrm{2y}\left(\mathrm{o}\right)\mathrm{x}\:+\mathrm{2y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{9}\right)\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\:+\mathrm{2y}\left(\mathrm{o}\right)\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{2y}^{'} \left(\mathrm{o}\right)−\mathrm{y}\left(\mathrm{o}\right)}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}\right)\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\right)+\mathrm{2y}\left(\mathrm{o}\right)\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)+\left(\mathrm{2y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{y}\left(\mathrm{o}\right)\right)\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$….\mathrm{be}\:\mathrm{continued}… \\ $$

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