Question Number 37089 by behi83417@gmail.com last updated on 08/Jun/18
Commented by math khazana by abdo last updated on 09/Jun/18
$$\left.\mathrm{1}\right)\:{f}\:{id}\:{defined}\:{on}\:\left[\mathrm{0},+\infty\left[\right.\right. \\ $$$${f}^{'} \left({x}\right)=\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{x}}}\left(\mathrm{1}+\sqrt{{x}}\right)\:−\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}}}{\left(\mathrm{1}+\sqrt{{x}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\:\:\frac{\mathrm{2}\sqrt{{x}}\left(\mathrm{1}+\sqrt{{x}}\right)−\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+\sqrt{{x}}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\mathrm{2}\sqrt{{x}}\:+\mathrm{2}{x}\:−\mathrm{2}−\mathrm{2}{x}}{\left(\mathrm{1}+\sqrt{{x}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:=\frac{\mathrm{2}\left(\sqrt{{x}}−\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{1}+\sqrt{{x}}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:{if}\:{x}\geqslant\mathrm{4}\:\:{f}^{'} \geqslant\mathrm{0}\:\:{and}\:{f}\:{is}\:{increazing} \\ $$$${f}\left(\left[\mathrm{4},+\infty\left[\right)=\left[{f}\left(\mathrm{4}\right),{f}\left(+\infty\right)\left[\:=\left[\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{3}}\:,\mathrm{1}\left[\right.\right.\right.\right.\right.\right. \\ $$$${if}\:\:\mathrm{0}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{4}\:\:{f}\:{is}\:{decreasing}\:{so} \\ $$$${f}\:\left(\left[\mathrm{0},\mathrm{4}\right]\right)=\left[{f}\left(\mathrm{4}\right),{f}\left(\mathrm{0}\right)\right]\:=\left[\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{3}},\mathrm{1}\right] \\ $$
Commented by math khazana by abdo last updated on 09/Jun/18
$$\left.\mathrm{2}\right)\:{let}\:{f}\left({x}\right)={y}\:\Rightarrow\:{x}={f}^{−\mathrm{1}} \left({y}\right)\:\Rightarrow\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\:\:={y}\left(\mathrm{1}+\sqrt{{x}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{1}+{x}={y}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{{x}}\:+{x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{1}+{x}\:={y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} \sqrt{{x}}\:\:+{y}^{\mathrm{2}} {x}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{1}+{x}\:−{y}^{\mathrm{2}} \:−{y}^{\mathrm{2}} {x}\:\:=\:\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} \sqrt{{x}}\:\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{1}+{x}\:−{y}^{\mathrm{2}} \:−{y}^{\mathrm{2}} {x}\right)^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{4}{y}^{\mathrm{4}} {x}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{1}+{x}\:−\left(\mathrm{1}+{x}\right){y}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{4}\:{y}^{\mathrm{4}} {x}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{y}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{4}{y}^{\mathrm{4}} {x}\:\Rightarrow \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{x}\:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}−{y}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{4}{y}^{\mathrm{4}} {x}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{1}−{y}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−{y}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} {x}\:\:+\left(\mathrm{1}−{y}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{4}{y}^{\mathrm{4}} {x}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\left\{\mathrm{1}−{y}^{\mathrm{2}} \right\}^{\mathrm{2}} \:{x}^{\mathrm{2}} \:\:+\left\{\:\mathrm{2}\:−\mathrm{4}{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{y}^{\mathrm{4}} \:−\mathrm{4}{y}^{\mathrm{4}} \right\}{x}\:\:+\left(\mathrm{1}−{y}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\left\{\mathrm{1}−{y}^{\mathrm{2}} \right\}^{\mathrm{2}} \:{x}^{\mathrm{2}} \:\:+\mathrm{2}\left\{\:\mathrm{1}\:−\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} \:−{y}^{\mathrm{4}} \right\}{x}\:+\left(\mathrm{1}−{y}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{1}−{y}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{2}\left({y}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\Delta{x}\:\:+\left(\mathrm{1}−{y}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta^{'} =\left({y}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:−\left(\mathrm{1}−{y}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{4}} ….{be}\:{continued}… \\ $$
Commented by math khazana by abdo last updated on 09/Jun/18
$$\left.\mathrm{3}\right)\:{let}\:{I}\:\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+{x}}}{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}\:{dx}\:{changement}\:\sqrt{{x}}={t}\:{give} \\ $$$${I}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{1}+{t}}\:\mathrm{2}{t}\:{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{t}}{\mathrm{1}+{t}}\sqrt{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }\:\:{dt}\:=\mathrm{2}\left\{\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\sqrt{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }\:{dt}\:−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{1}+{t}}{dt}\:\right\} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\sqrt{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }\:{dt}\:=_{{t}={sh}\left({u}\right)} \:\:\int_{{o}} ^{{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)} \:{ch}\left({u}\right){ch}\left({u}\right){du} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)} \:\left(\mathrm{1}+{ch}\left(\mathrm{2}{u}\right)\right){du} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\:\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\left[{sh}\left(\mathrm{2}{u}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)} \:{but} \\ $$$${sh}\left(\mathrm{2}{u}\right)\:=\frac{{e}^{\mathrm{2}{u}} \:+{e}^{−\mathrm{2}{u}} }{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\:{sh}\left(\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\right. \\ $$$$=\:\frac{\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \:\:+\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{−\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\sqrt{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }{dt}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left\{\:\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{−\mathrm{2}} \right\} \\ $$$${letfind}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{1}+{t}}\:{dt}\:\:{chang}.\:{t}={sh}\left({x}\right)\:{give} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{1}+{t}}\:{dt}=\:\int_{\mathrm{0}} ^{{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)} \:\:\frac{{ch}\left({x}\right)}{\mathrm{1}+{sh}\left({x}\right)}\:{ch}\left({x}\right){dx} \\ $$$$=\:\int_{\mathrm{0}} ^{{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)} \:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{sh}\left({x}\right)}\:\frac{\mathrm{1}+{ch}\left(\mathrm{2}{x}\right)}{\mathrm{2}}\:{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)} \:\:\:\frac{\mathrm{1}\:+\frac{{e}^{\mathrm{2}{x}} \:+{e}^{−\mathrm{2}{x}} }{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+\:\frac{{e}^{{x}} \:+{e}^{−{x}} }{\mathrm{2}}}\:{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)} \:\:\frac{\mathrm{2}\:+{e}^{\mathrm{2}{x}} \:+{e}^{−\mathrm{2}{x}} }{\mathrm{2}+{e}^{{x}} \:+{e}^{−{x}} }\:{dx} \\ $$$$=_{{e}^{{x}} \:={t}} \:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}} \:\:\:\:\:\frac{\mathrm{2}\:\:+{t}^{\mathrm{2}\:} \:+\frac{\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}\:+{t}\:+\frac{\mathrm{1}}{{t}}}\:{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}} \:\:\:\frac{\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} \:+{t}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{1}}{\mathrm{2}{t}\:+{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\frac{\mathrm{1}}{{t}}\:{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}\:+\sqrt{\mathrm{2}}} \:\:\frac{{t}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} \:+{t}}\:{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}\:+\sqrt{\mathrm{2}}} \:\:\:\frac{{t}\left({t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} \:+{t}\right)\:−\mathrm{2}{t}^{\mathrm{3}} \:+{t}^{\mathrm{2}} \:\:+\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} \:+{t}}\:{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}} \:\:\:{t}\:{dt}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}} \:\:\frac{−\mathrm{2}{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3}{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} \:+{t}}{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{\:\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right\}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}} \frac{−\mathrm{2}\left({t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} \:+{t}\right)+\mathrm{4}{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{t}\:+\mathrm{3}{t}^{\mathrm{2}\:} \:+\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} \:+{t}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{\mathrm{2}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\right)\:\:−\mathrm{1}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}} \:\:\:\frac{\mathrm{7}{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{t}\:+\mathrm{1}}{{t}\left({t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{t}\:+\mathrm{1}\right)}{dt} \\ $$$${let}\:{decompose}\:{F}\left({t}\right)\:=\:\frac{\mathrm{7}{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{t}\:+\mathrm{1}}{{t}\left({t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${F}\left({t}\right)\:=\:\frac{{a}}{{t}}\:+\frac{{b}}{{t}+\mathrm{1}}\:+\frac{{c}}{\left({t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:….{be}\:{continued}… \\ $$
Commented by behi83417@gmail.com last updated on 09/Jun/18
Commented by prakash jain last updated on 09/Jun/18
$${x}=\mathrm{4} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{3}} \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\Rightarrow{f}\left({x}\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{4}} \\ $$$${f}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\:{for}\:{f}\left({x}\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{1}+{x}}}{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}\: \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{defined}\:\mathrm{for}\:\mathrm{since}\:{f}\left({x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{not} \\ $$$$\mathrm{one}\:\mathrm{to}\:\mathrm{one}. \\ $$
Commented by behi83417@gmail.com last updated on 09/Jun/18
$$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\geqslant\mathrm{0}\Rightarrow{y}\geqslant\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}},{y}\neq\pm\mathrm{1},{D}_{{f}} =\left[\mathrm{0},+\infty\right) \\ $$$${f}\left(\mathrm{0}\right)=\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}{f}\left({x}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\leqslant{y}<\mathrm{1}\Rightarrow{R}_{{f}} =\left[\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}},\mathrm{1}\right)\:. \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 09/Jun/18
$${f}\left({x}\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{3}}\:\mathrm{what}\:\mathrm{is}\:{f}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)? \\ $$$${f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)\:\mathrm{and}\:{f}\left(\mathrm{4}\right)\:\mathrm{both}\:\mathrm{give} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{3}}\:\mathrm{so}\:{f}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{multivalued} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{hence}\:{f}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\:\mathrm{not}\:\mathrm{a}\:\mathrm{function}\:\mathrm{by}\:\mathrm{definition}. \\ $$
Commented by math khazana by abdo last updated on 09/Jun/18
$${hello}\:{sir}\:{prakash}\:\:{why}\:{are}\:{you}\:\:{absent}\:{from}\:{this} \\ $$$${platform}… \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 10/Jun/18
$$\mathrm{I}\:\mathrm{am}\:\mathrm{not}\:\mathrm{completely}\:\mathrm{absent}.\:\mathrm{I}\:\mathrm{read} \\ $$$$\mathrm{messages}\:\mathrm{daily}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{My}\:\mathrm{office}\:\mathrm{work}\:\mathrm{load}\:\mathrm{is}\:\mathrm{high}\:\mathrm{and}\:\mathrm{I} \\ $$$$\mathrm{am}\:\mathrm{not}\:\mathrm{getting}\:\mathrm{time}\:\mathrm{to}\:\mathrm{work}\: \\ $$$$\mathrm{problems}. \\ $$
Commented by math khazana by abdo last updated on 10/Jun/18
$${nevermind}\:{sir}\:.. \\ $$
Answered by ajfour last updated on 09/Jun/18
$${x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\sqrt{{y}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}+{y} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+{y}+\mathrm{2}\sqrt{{y}}\right)=\mathrm{1}+{y} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+{y}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}{x}^{\mathrm{4}} {y} \\ $$$${let}\:{y}=\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\theta\:= \\ $$$$\Rightarrow\:\:\mathrm{4}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\:^{\mathrm{4}} \theta=\mathrm{4}{x}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \theta−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\:^{\mathrm{4}} \theta−\mathrm{8}{x}^{\mathrm{4}} \mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{4}{x}^{\mathrm{4}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \theta\:=\frac{\mathrm{8}{x}^{\mathrm{4}} \pm\sqrt{\mathrm{64}{x}^{\mathrm{8}} −\mathrm{16}{x}^{\mathrm{4}} \left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \theta\:=\frac{\mathrm{8}{x}^{\mathrm{4}} \pm\sqrt{\mathrm{48}{x}^{\mathrm{8}} +\mathrm{32}{x}^{\mathrm{6}} −\mathrm{16}{x}^{\mathrm{4}} }}{\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \theta\:=\frac{\mathrm{8}{x}^{\mathrm{4}} \pm\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{4}} \pm\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}}{\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{4}{x}^{\mathrm{4}} −\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\:={x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \theta=\frac{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{4}} \pm\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{4}} −\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }}{\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${y}=\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\theta=\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \theta−\mathrm{1} \\ $$$${y}\:=\frac{\mathrm{8}{x}^{\mathrm{4}} −\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \pm\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{4}} −\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }}{\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:. \\ $$