Question Number 168368 by SUPERMATH last updated on 09/Apr/22
Answered by qaz last updated on 09/Apr/22
$$\int\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dx}=\int\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}+\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\int\frac{\mathrm{x}+\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }{\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dx}−\int\frac{\mathrm{1}+\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\int\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\int\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)+\mathrm{C} \\ $$
Commented by peter frank last updated on 09/Apr/22
$$\mathrm{thanks} \\ $$