Question Number 69238 by ~ À ® @ 237 ~ last updated on 21/Sep/19
$${Use}\:{Residus}\:{Theorem}\:{to}\:{explicit}\: \\ $$$${f}\left({a}\right)=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {sin}\left({na}\right)}{{n}^{\mathrm{3}} }\:\: \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 22/Sep/19
$${let}\:{first}\:{find}\:{s}\left({x}\right)=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {sin}\left({nx}\right)}{{n}} \\ $$$${s}\left({x}\right)\:={Im}\left(\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {e}^{{inx}} }{{n}}\right)\:={Im}\left(\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left(−{e}^{{ix}} \right)^{{n}} }{{n}}\right) \\ $$$${let}\:{w}\left({z}\right)\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{{z}^{{n}} }{{n}}\:\:{with}\:\:\mid{z}\mid\leqslant\mathrm{1}\:\Rightarrow{w}^{'} \left({z}\right)=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{z}^{{n}−\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{z}}\:\Rightarrow \\ $$$${w}\left({z}\right)=\int\:\frac{{dz}}{\mathrm{1}−{z}}\:+{c}\:=−{ln}\left(\mathrm{1}−{z}\right)+{c}\:\left({c}={w}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow{w}\left({z}\right)=−{ln}\left(\mathrm{1}−{z}\right) \\ $$$$\Rightarrow\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−{e}^{{ix}} \right)^{{n}} }{{n}}\:=−{ln}\left(\mathrm{1}+{e}^{{ix}} \right)=−{ln}\left(\mathrm{1}+{cosx}\:+{isinx}\right) \\ $$$$=−{ln}\left(\mathrm{2}{cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{2}{i}\:{sin}\left(\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right){cos}\left(\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$$$=−{ln}\left(\mathrm{2}{cos}\left(\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right){e}^{\frac{{ix}}{\mathrm{2}}} \right)\:=−{ln}\left(\mathrm{2}{cos}\left(\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)\right)−\frac{{ix}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow{s}\left({x}\right)=−\frac{{x}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int{s}\left({x}\right){dx}\:=−\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}\:+{c}\:=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }{cos}\left({nx}\right) \\ $$$${x}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{c}\:=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:=−\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:{cos}\left({nx}\right)\:=−\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:\:\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{3}} }{sin}\left({nx}\right)\:=−\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{12}}+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}{x}\:+{c} \\ $$$${x}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{c}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{3}} }{sin}\left({nx}\right)\:=−\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{12}}+\frac{\pi^{\mathrm{2}} {x}}{\mathrm{12}}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{3}} }{sin}\left({nx}\right)\:=\frac{{x}}{\mathrm{12}}\left(\pi^{\mathrm{2}} −{x}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$ \\ $$
Answered by mind is power last updated on 22/Sep/19