y-y-cot-x-

Question Number 103788 by bemath last updated on 17/Jul/20

$${y}''−{y}\:=\:\mathrm{cot}\:{x}\: \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 18/Jul/20

y^(′′) −y =((cosx)/(sinx)) h→r^2 −1=0 ⇒r =+^− 1 ⇒y_h =a e^x +be^(−x) =au_1 +bu_2 W(u_1 ,u_2 ) = determinant (((e^x e^(−x) )),((e^x −e^(−x) )))=−2≠0 W_1 = determinant (((o e^(−x) )),((((cosx)/(sinx)) −e^(−x) )))=−((e^(−x) cosx)/(sinx)) W_2 = determinant (((e^x 0)),((e^x ((cosx)/(sinx)))))=((e^x cosx)/(sinx)) v_1 =∫ (w_1 /w)dx =∫ ((e^(−x) cosx)/(2sinx)) dx v_2 =∫ (w_2 /w)dx =−(1/2)∫ ((e^x cosx)/(sinx))dx ⇒y_p =u_1 v_1 +u_2 v_2 =e^(x ) ∫ ((e^(−x) cosx)/(2sinx))dx −e^(−x) ∫ ((e^x cosx)/(2sinx))dx the general solution is y =y_p +y_h

$$\mathrm{y}^{''} −\mathrm{y}\:=\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}} \\ $$$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{r}\:=\overset{−} {+}\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\mathrm{a}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{−\mathrm{x}} \:=\mathrm{au}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{2}\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}\:\:\:\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}}\end{vmatrix}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{cosx}}{\mathrm{2sinx}}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}\mathrm{dx} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} \:=\mathrm{e}^{\mathrm{x}\:} \:\int\:\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{cosx}}{\mathrm{2sinx}}\mathrm{dx}\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \int\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{cosx}}{\mathrm{2sinx}}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\:\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \\ $$

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