Question Number 104016 by Dwaipayan Shikari last updated on 18/Jul/20
Answered by OlafThorendsen last updated on 18/Jul/20
$$\mathrm{arctan}{x}−\mathrm{arctan}{y}\:=\:\mathrm{arctan}\frac{{x}−{y}}{\mathrm{1}+{xy}} \\ $$$$\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{arctan}\frac{\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{1}+\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\:\:\mathrm{arctan}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{4}{k}^{\mathrm{2}} }\:=\:\mathrm{arctan}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{k}={n}} {\sum}}\mathrm{arctan}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{k}={n}} {\sum}}\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\mathrm{arctan3}−\mathrm{arctan1} \\ $$$$+\mathrm{arctan5}−\mathrm{arctan3}… \\ $$$$+\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{arctan1} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}S}_{{n}} \:=\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{arctan}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$$$ \\ $$