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Question-134848

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Question Number 134848 by mohammad17 last updated on 07/Mar/21
Commented by mohammad17 last updated on 07/Mar/21
solve by laplase transform sir
$${solve}\:{by}\:{laplase}\:{transform}\:{sir} \\ $$
Commented by mohammad17 last updated on 07/Mar/21
help me sir
$${help}\:{me}\:{sir} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 07/Mar/21
e⇒L(y^(′′) )−3L(y^′ )+2L(y)=4L(e^(2x) ) ⇒ x^2 L(y)−xy^′ (0)−y^(′′) (0)−3(xL(y)−y^′ (0))+2L(y)=4 L(e^(2x) ) ⇒ (x^2 −3x+2)L(y) =xy^′ (0)+y^(′′) (0)−3y^′ (0)+4L(e^(2x) ) ⇒ (x^2 −3x+2)L(y)=5x−15 +y^(′′) (0)+4L(e^(2x) ) we have L(e^(2x) )=∫_0 ^∞ e^(2t) e^(−xt) dt =∫_0 ^∞ e^((2−x)t) dt =[(1/(2−x))e^((2−x)t) ]_(t=0) ^∞ =−(1/(2−x)) ⇒(x^2 −3x +2)L(y)=(4/(x−2)) +5x−15 +y^(′′) (0) ⇒ L(y)=(4/((x−2)(x^2 −3x+2))) +((5x−15)/(x^2 −3x+2)) +((y^((2)) (0))/(x^2 −3x+2)) ⇒ y(x)=4L^(−1) ((1/((x−2)(x^2 −3x+2))))+L^(−1) (((5x−15)/(x^2 −3x+2)))+y^((2)) (0)L^(−1) ((1/(x^2 −3x+2))) x^2 −3x+2=0→Δ=1 ⇒x_1 =((3+1)/2)=2 and x_2 =((3−1)/2)=1 ⇒ (1/(x^2 −3x+2))=(1/((x−2)(x+1))) =(1/3)((1/(x−2))−(1/(x+1))) ⇒ L^(−1) ((1/(x^2 −3x+2)))=(1/3)e^(2x) −(1/3)e^(−x) also ((5x−15)/(x^2 −3x+2))=(a/(x−2))+(b/(x+1)) ⇒L^(−1) (....) =ae^(2x) +be^(−x) .....be continued....
$$\mathrm{e}\Rightarrow\mathrm{L}\left(\mathrm{y}^{''} \right)−\mathrm{3L}\left(\mathrm{y}^{'} \right)+\mathrm{2L}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{4L}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{xy}^{'} \left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{y}^{''} \left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{3}\left(\mathrm{xL}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\right)+\mathrm{2L}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{4}\:\mathrm{L}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \right)\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{2}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{xy}^{'} \left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{y}^{''} \left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{3y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{4L}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \right)\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{2}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{5x}−\mathrm{15}\:+\mathrm{y}^{''} \left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{4L}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{L}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\mathrm{2t}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \:\mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{2}−\mathrm{x}\right)\mathrm{t}} \mathrm{dt}\:=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}−\mathrm{x}}\mathrm{e}^{\left(\mathrm{2}−\mathrm{x}\right)\mathrm{t}} \right]_{\mathrm{t}=\mathrm{0}} ^{\infty} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}−\mathrm{x}}\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}\:+\mathrm{2}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{x}−\mathrm{2}}\:+\mathrm{5x}−\mathrm{15}\:+\mathrm{y}^{''} \left(\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)=\frac{\mathrm{4}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{2}\right)}\:+\frac{\mathrm{5x}−\mathrm{15}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{y}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{0}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{4L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{2}\right)}\right)+\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{5x}−\mathrm{15}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{2}}\right)+\mathrm{y}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{0}\right)\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{2}=\mathrm{0}\rightarrow\Delta=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{3}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{3}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{also} \\ $$$$\frac{\mathrm{5x}−\mathrm{15}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}−\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(….\right)\:=\mathrm{ae}^{\mathrm{2x}} +\mathrm{be}^{−\mathrm{x}} \\ $$$$…..\mathrm{be}\:\mathrm{continued}…. \\ $$$$ \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 07/Mar/21
sorry (1/(x^2 −3x+2))=(1/((x−2)(x−1)))=(1/(x−2))−(1/(x−1)) ⇒ L^(−1) ((1/(x^2 −3x+2)))=e^(2x) −e^x
$$\mathrm{sorry}\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{2}}\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 07/Mar/21
wronskien method h →y^((2)) −3y^((1)) +2y =0 →r^2 −3r+2 =0 ⇒r_1 =1 and r_2 =2 ⇒ y_h =ae^x +be^(2x) =au_1 +bu_2 W(u_1 ,u_2 ) = determinant (((e^x e^(2x) )),((e^x 2e^(2x) )))=2e^(3x) −e^(3x) =e^(3x) ≠0 W_1 = determinant (((o e^(2x) )),((4e^(2x) 2e^(2x) )))=−4e^(4x) W_2 = determinant (((e^x 0)),((e^x 4e^(2x) )))=4e^(3x) v_1 =∫ (W_1 /W)dx =∫ ((−4e^(4x) )/e^(3x) )dx =−4∫ e^x dx =−4e^x v_2 =∫ (W_2 /W)dx =∫ ((4e^(3x) )/e^(3x) )dx =4x ⇒y_p =u_1 v_1 +u_2 v_2 y_p =e^x .(−4e^x )+e^(2x) (4x) =−4e^(2x) +4x e^(2x) =(4x−4)e^(2x) general solution is y =y_h +y_p =ae^x +be^(2x) +(4x−4)e^(2x) y(0)=−3 ⇒a+b−4 =−3 ⇒a+b =1 y^′ (x)=ae^x +2b e^(2x) +4e^(2x) +2(4x−4)e^(2x) y^′ (0)=5 ⇒a+2b+4−8 =5 ⇒a+2b =5+4 =9 ⇒ a+2(1−a)=9 ⇒−a+2 =9 ⇒a=−7 b=8 ⇒y(x)=−7e^x +8e^(2x) +(4x−4)e^(2x) ⇒ y(x)=−7e^x +(4x+4)e^(2x)
$$\mathrm{wronskien}\:\mathrm{method} \\ $$$$\mathrm{h}\:\rightarrow\mathrm{y}^{\left(\mathrm{2}\right)} −\mathrm{3y}^{\left(\mathrm{1}\right)} +\mathrm{2y}\:=\mathrm{0}\:\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3r}+\mathrm{2}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{r}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{r}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\mathrm{ae}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{\mathrm{2x}} \:=\mathrm{au}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2e}^{\mathrm{2x}} }\end{vmatrix}=\mathrm{2e}^{\mathrm{3x}} −\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:=\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }\\{\mathrm{4e}^{\mathrm{2x}} \:\:\:\:\:\mathrm{2e}^{\mathrm{2x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{4e}^{\mathrm{4x}} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{4e}^{\mathrm{2x}} }\end{vmatrix}=\mathrm{4e}^{\mathrm{3x}} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{W}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{−\mathrm{4e}^{\mathrm{4x}} }{\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} }\mathrm{dx}\:=−\mathrm{4}\int\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:=−\mathrm{4e}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{W}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=\int\:\frac{\mathrm{4e}^{\mathrm{3x}} }{\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} }\mathrm{dx}\:=\mathrm{4x}\:\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{e}^{\mathrm{x}} .\left(−\mathrm{4e}^{\mathrm{x}} \right)+\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \left(\mathrm{4x}\right)\:=−\mathrm{4e}^{\mathrm{2x}} \:+\mathrm{4x}\:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:=\left(\mathrm{4x}−\mathrm{4}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\:\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} +\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \\ $$$$=\mathrm{ae}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{\mathrm{2x}} \:+\left(\mathrm{4x}−\mathrm{4}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{4}\:=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{a}+\mathrm{b}\:=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ae}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{2b}\:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:+\mathrm{4e}^{\mathrm{2x}} \:+\mathrm{2}\left(\mathrm{4x}−\mathrm{4}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{5}\:\Rightarrow\mathrm{a}+\mathrm{2b}+\mathrm{4}−\mathrm{8}\:=\mathrm{5}\:\Rightarrow\mathrm{a}+\mathrm{2b}\:=\mathrm{5}+\mathrm{4}\:=\mathrm{9}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)=\mathrm{9}\:\Rightarrow−\mathrm{a}+\mathrm{2}\:=\mathrm{9}\:\Rightarrow\mathrm{a}=−\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{b}=\mathrm{8}\:\Rightarrow\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=−\mathrm{7e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{8e}^{\mathrm{2x}} +\left(\mathrm{4x}−\mathrm{4}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=−\mathrm{7e}^{\mathrm{x}} \:+\left(\mathrm{4x}+\mathrm{4}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \\ $$$$ \\ $$
Answered by Ñï= last updated on 08/Mar/21
y_p =(1/(D^2 −3D+2))4e^(2x) =4(1/((D−1)(D−2)))e^(2x) =4e^(2x) ((1/D)−(1/(D+1))) =4e^(2x) (x−1) y=C_1 e^x +C_2 e^(2x) +4(x−1)e^(2x) y(0)=−3 y(0)′=5 ⇒C_1 +2C_2 =9 C_1 +C_2 =1 ⇒C_1 =−7 C_2 =8 y=−7e^x +8e^(2x) +4(x−1)e^(2x) =−7e^x +(4x+4)e^(2x)
$${y}_{{p}} =\frac{\mathrm{1}}{{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{D}+\mathrm{2}}\mathrm{4}{e}^{\mathrm{2}{x}} \\ $$$$=\mathrm{4}\frac{\mathrm{1}}{\left({D}−\mathrm{1}\right)\left({D}−\mathrm{2}\right)}{e}^{\mathrm{2}{x}} \\ $$$$=\mathrm{4}{e}^{\mathrm{2}{x}} \left(\frac{\mathrm{1}}{{D}}−\frac{\mathrm{1}}{{D}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\mathrm{4}{e}^{\mathrm{2}{x}} \left({x}−\mathrm{1}\right) \\ $$$${y}={C}_{\mathrm{1}} {e}^{{x}} +{C}_{\mathrm{2}} {e}^{\mathrm{2}{x}} +\mathrm{4}\left({x}−\mathrm{1}\right){e}^{\mathrm{2}{x}} \\ $$$${y}\left(\mathrm{0}\right)=−\mathrm{3}\:\:\:\:\:\:\:\:{y}\left(\mathrm{0}\right)'=\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow{C}_{\mathrm{1}} +\mathrm{2}{C}_{\mathrm{2}} =\mathrm{9} \\ $$$${C}_{\mathrm{1}} +{C}_{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{C}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{7}\:\:\:{C}_{\mathrm{2}} =\mathrm{8} \\ $$$${y}=−\mathrm{7}{e}^{{x}} +\mathrm{8}{e}^{\mathrm{2}{x}} +\mathrm{4}\left({x}−\mathrm{1}\right){e}^{\mathrm{2}{x}} \\ $$$$=−\mathrm{7}{e}^{{x}} +\left(\mathrm{4}{x}+\mathrm{4}\right){e}^{\mathrm{2}{x}} \\ $$

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