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How-may-we-plot-the-graph-of-f-x-x-x-x-2-x-1-with-the-help-of-a-variation-table-

Tinku Tara 0 Comments
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Question Number 104159 by Ar Brandon last updated on 19/Jul/20
How may we plot the graph of f(x)=x+(√((x(x+2))/(x+1))) , with the help of a variation table ?
$$\mathrm{How}\:\mathrm{may}\:\mathrm{we}\:\mathrm{plot}\:\mathrm{the}\:\mathrm{graph}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}+\sqrt{\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}\:,\:\mathrm{with} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{help}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{variation}\:\mathrm{table}\:? \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 19/Jul/20
a\ f(x)=x+(√((x(x+2))/(x+1))) i\Df; ((x(x+2))/((x+1)))≥0 , x≠−1 ⇒((x(x+1)(x+2))/((x+1)^2 ))≥0 ⇒x∈[−2,−1[∪[0,+∞[ ii\ lim_(x→−2^+ ) f(x)=−2 ,lim_(x→−1^− ) f(x)=+∞ ,lim_(x→0^+ ) f(x)=0 ,lim_(x→+∞) f(x)=+∞ iii\Asymptotes; x+1≠0 ⇒ x=−1 is a vertical asymptote. f(x)=x+((g(x))/(h(x))) ⇒ y=x is an oblique asymptote. iv\ f(x)=0⇒x+(√((x(x+2))/(x+1)))=0 ⇒((x(x+2))/(x+1))=x^2 ⇒x(x+2)=x^3 +x^2 ⇒x(x^2 −2)=0 ⇒x=−(√2) , x=0 , x=(√2) , x=(√2) ⇏f(x)=0 ⇒x=−(√2), x=0 ⇒(−(√2),0) (0,0) v\ f ′(x)=(x+(√(x+1−(1/(x+1)))))^′ =1+(1/2)∙(1/( (√(x+1−(1/(x+1))))))∙(1+(1/((x+1)^2 ))) =1+(1/2)∙(1/( (√((x^2 +2x)/(x+1)))))∙(((x^2 +2x+2)/((x+1)^2 ))) f ′(x)=0 ⇒(√((x+1)/(x^2 +2x)))∙((x^2 +2x+2)/((x+1)^2 ))=−2 ⇒ (((x^2 +2x+2)^2 )/(x(x+2)(x+1)^3 ))=4 determinant ((x,(−2 −(√2)),( −1),( 0),( +∞)),((f ′(x)),( +),( +),( −),( −)),((f(x)),( _(−2) ↗^0 ),( _0 ↗^(+∞) ),( ^(+∞) ↘_0 ),( ^( 0) ↘_(−∞) )))
$$ \\ $$$$\mathrm{a}\backslash\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}+\sqrt{\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}} \\ $$$${i}\backslash\mathcal{D}\mathrm{f};\:\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\geqslant\mathrm{0}\:,\:\mathrm{x}\neq−\mathrm{1}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{x}\in\left[−\mathrm{2},−\mathrm{1}\left[\cup\left[\mathrm{0},+\infty\left[\right.\right.\right.\right. \\ $$$${ii}\backslash\:\underset{\mathrm{x}\rightarrow−\mathrm{2}^{+} } {\mathrm{lim}f}\left(\mathrm{x}\right)=−\mathrm{2}\:,\underset{\mathrm{x}\rightarrow−\mathrm{1}^{−} } {\mathrm{lim}f}\left(\mathrm{x}\right)=+\infty\:,\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\:,\underset{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}f}\left(\mathrm{x}\right)=+\infty \\ $$$${iii}\backslash\mathrm{Asymptotes};\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\neq\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}=−\mathrm{1}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{vertical}\:\mathrm{asymptote}. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}+\frac{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)}\:\Rightarrow\:{y}=\mathrm{x}\:\mathrm{is}\:\mathrm{an}\:\mathrm{oblique}\:\mathrm{asymptote}. \\ $$$${i}\mathrm{v}\backslash\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}+\sqrt{\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{x}=−\sqrt{\mathrm{2}}\:,\:\mathrm{x}=\mathrm{0}\:,\:\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{2}}\:,\:\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{2}}\:\nRightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{x}=−\sqrt{\mathrm{2}},\:\mathrm{x}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\left(−\sqrt{\mathrm{2}},\mathrm{0}\right)\:\:\left(\mathrm{0},\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{v}\backslash\:\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}\right)^{'} =\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}}\centerdot\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}}\centerdot\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{2}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow\sqrt{\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}}}\centerdot\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{2}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=−\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }=\mathrm{4} \\ $$$$\begin{vmatrix}{\mathrm{x}}&{−\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:−\sqrt{\mathrm{2}}}&{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{1}}&{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}&{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\infty}\\{\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{x}\right)}&{\:\:\:\:\:\:\:\:\:+}&{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+}&{\:\:\:\:\:\:\:\:\:−}&{\:\:\:\:\:\:\:\:−}\\{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}&{\:\:\:\:\underset{−\mathrm{2}} {\:}\nearrow^{\mathrm{0}} }&{\:\:\:\:\:\:\:\underset{\mathrm{0}} {\:}\nearrow^{+\infty} }&{\:\:\:\overset{+\infty} {\:}\searrow_{\mathrm{0}} }&{\overset{\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}} {\:}\searrow_{−\infty} }\end{vmatrix} \\ $$$$ \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 19/Jul/20
This is what I tried doing. But I′m not getting right. As this doesn′t represent f(x) Any idea, please ?
$$\mathrm{This}\:\mathrm{is}\:\mathrm{what}\:\mathrm{I}\:\mathrm{tried}\:\mathrm{doing}.\:\mathrm{But}\:\mathrm{I}'\mathrm{m}\:\mathrm{not}\:\mathrm{getting}\:\mathrm{right}. \\ $$$$\mathrm{As}\:\mathrm{this}\:\mathrm{doesn}'\mathrm{t}\:\mathrm{represent}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{Any}\:\mathrm{idea},\:\mathrm{please}\:? \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 19/Jul/20

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