For-fun-S-n-1-2-3-4-5-6-7-2S-n-2-4-6-S-n-1-3-5-7-9-11-1-12-1-3-5-7-9-11-1-3-5-7-9-1-12-S-n-1-2-3-4-5-6-7-S-n-1-1-1-1-2-1-3-

Question Number 104173 by Dwaipayan Shikari last updated on 19/Jul/20

$$\:\mathrm{For}\:\mathrm{fun}! \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+\mathrm{6}+\mathrm{7}+… \\ $$$$\mathrm{2S}_{\mathrm{n}} =\:\:\:\:\mathrm{2}\:\:+\:\:\:\mathrm{4}\:\:\:\:\:\:+\:\:\mathrm{6}\:\:\:\:\:\:+.. \\ $$$$−\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\mathrm{1}+\mathrm{3}+\mathrm{5}+\mathrm{7}+\mathrm{9}+\mathrm{11}+….. \\ $$$$−\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\right)=\mathrm{1}+\mathrm{3}+\mathrm{5}+\mathrm{7}+\mathrm{9}+\mathrm{11}+… \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{3}+\mathrm{5}+\mathrm{7}+\mathrm{9}+….=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+\mathrm{6}+\mathrm{7}+…. \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\mathrm{1}+\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\right)+\left(\mathrm{1}+\mathrm{3}\right)+… \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}+….\right)+\mathrm{S}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}+….=\mathrm{0} \\ $$

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