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dy-dx-y-sinx-

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Question Number 104265 by mohammad17 last updated on 20/Jul/20
(dy/dx)−y=sinx
$$\frac{{dy}}{{dx}}−{y}={sinx} \\ $$
Answered by bemath last updated on 20/Jul/20
Homogenous solution λ−1=0 ⇒λ=1 ⇒y_h = C_1 e^x particular solution y_p =Acos x+Bsin x y_p ′=−Asin x+Bcos x comparing coefficient (−Asin x+Bcos x)−(Acos x + Bsin x) = sin x ⇒(B−A)cos x+(−B−A)sin x = sin x B=A ∧ −B−A=1 ⇒A=−(1/2) y_p = −(1/2)cos x−(1/2)sin x general solution ∴y = Ce^x −(1/2)(cos x+sin x)
$${Homogenous}\:{solution}\: \\ $$$$\lambda−\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\lambda=\mathrm{1}\:\Rightarrow{y}_{{h}} \:=\:{C}_{\mathrm{1}} {e}^{{x}} \\ $$$${particular}\:{solution}\: \\ $$$${y}_{{p}} ={A}\mathrm{cos}\:{x}+{B}\mathrm{sin}\:{x} \\ $$$${y}_{{p}} '=−{A}\mathrm{sin}\:{x}+{B}\mathrm{cos}\:{x} \\ $$$${comparing}\:{coefficient}\: \\ $$$$\left(−{A}\mathrm{sin}\:\:{x}+{B}\mathrm{cos}\:\:{x}\right)−\left({A}\mathrm{cos}\:{x}\right. \\ $$$$\left.+\:{B}\mathrm{sin}\:{x}\right)\:=\:\mathrm{sin}\:{x} \\ $$$$\Rightarrow\left({B}−{A}\right)\mathrm{cos}\:{x}+\left(−{B}−{A}\right)\mathrm{sin}\:{x} \\ $$$$=\:\mathrm{sin}\:{x}\: \\ $$$${B}={A}\:\wedge\:−{B}−{A}=\mathrm{1}\:\Rightarrow{A}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${y}_{{p}} \:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:{x} \\ $$$${general}\:{solution}\: \\ $$$$\therefore{y}\:=\:{Ce}^{{x}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{cos}\:{x}+\mathrm{sin}\:{x}\right) \\ $$
Commented by mohammad17 last updated on 20/Jul/20
sory sir how this i think this y=((∫e^(−x) sinxdx)/e^(−x) )
$$ \\ $$$$ \\ $$$${sory}\:{sir}\:{how}\:{this}\:{i}\:{think}\:{this}\:{y}=\frac{\int{e}^{−{x}} {sinxdx}}{{e}^{−{x}} } \\ $$
Commented by mohammad17 last updated on 20/Jul/20
Commented by mohammad17 last updated on 20/Jul/20
is the solution its right?
$${is}\:{the}\:{solution}\:{its}\:{right}? \\ $$
Commented by bemath last updated on 20/Jul/20
yes sir
$${yes}\:{sir} \\ $$
Commented by mohammad17 last updated on 20/Jul/20
thank you
$${thank}\:{you} \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 20/Jul/20
IF=e^(∫−1dx) =e^(−x) y.e^(−x) =∫e^(−x) sinxdx=I ye^(−x) =−sinxe^(−x) +∫e^(−x) cosxdx ye^(−x) =−sinx e^(−x) −cosx e^(−x) −∫sinx e^(−x) =I ye^(−x) =−(1/2)e^(−x) (sinx+cosx)+C y=((−1)/2)(sinx+cosx)+Ce^x
$$\mathrm{IF}=\mathrm{e}^{\int−\mathrm{1dx}} =\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{y}.\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} =\int\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sinxdx}=\mathrm{I} \\ $$$$\mathrm{ye}^{−\mathrm{x}} =−\mathrm{sinxe}^{−\mathrm{x}} +\int\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{cosxdx} \\ $$$$\mathrm{ye}^{−\mathrm{x}} =−\mathrm{sinx}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} −\mathrm{cosx}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} −\int\mathrm{sinx}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} =\mathrm{I} \\ $$$$\mathrm{ye}^{−\mathrm{x}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}\right)+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{y}=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}\right)+\mathrm{Ce}^{\mathrm{x}} \\ $$$$ \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 20/Jul/20
{(dy/dx)−y=sinx}∙e^(−x) ⇒e^(−x) (dy/dx)−ye^(−x) =e^(−x) sinx ⇒((d(ye^(−x) ))/dx)=e^(−x) sinx ⇒ye^(−x) =∫e^(−x) sinxdx =sinx∫e^(−x) dx−∫{((dsinx)/dx)∫e^(−x) dx}dx =−e^(−x) sinx+∫e^(−x) cosxdx =−e^(−x) sinx+{cosx∫e^(−x) dx−∫{((dcosx)/dx)∫e^(−x) dx}dx} =−e^(−x) sinx−e^(−x) cosx−∫e^(−x) sinxdx =((−(sinx+cosx)e^(−x) )/2)+C ⇒y=−(((sinx+cosx))/2)+Ce^x
$$\left\{\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}−\mathrm{y}=\mathrm{sinx}\right\}\centerdot\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}−\mathrm{ye}^{−\mathrm{x}} =\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sinx} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{ye}^{−\mathrm{x}} \right)}{\mathrm{dx}}=\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sinx} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ye}^{−\mathrm{x}} =\int\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sinxdx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{sinx}\int\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{dx}−\int\left\{\frac{\mathrm{dsinx}}{\mathrm{dx}}\int\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{dx}\right\}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sinx}+\int\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{cosxdx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sinx}+\left\{\mathrm{cosx}\int\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{dx}−\int\left\{\frac{\mathrm{dcosx}}{\mathrm{dx}}\int\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{dx}\right\}\mathrm{dx}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sinx}−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{cosx}−\int\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sinxdx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{−\left(\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}+\mathcal{C} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=−\frac{\left(\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}\right)}{\mathrm{2}}+\mathcal{C}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 20/Jul/20
y^′ −y =sinx h→r−1 =0 ⇒r =1 ⇒y_h =Ke^x lagrange method →y^′ =k^′ e^x +ke^x e⇒k^′ e^x +ke^x −ke^x =sinx ⇒k^′ =e^(−x) sinx ⇒k =∫ e^(−x) sinx dx =Im(∫ e^(−x+ix) dx) =Im(∫ e^((−1+i)x) dx) but ∫ e^((−1+i)x) dx =(1/(−1+i)) e^((−1+i)x) +c =−(1/(1−i)) e^(−x) (cosx +sinx) =−((1+i)/2) e^(−x) {cosx +isinx} =−(e^(−x) /2){cosx+isinx+icosx−sinx} ⇒ Im(∫...) =−(e^(−x) /2){cosx +sinx} ⇒the general solution is (−(e^(−x) /2){cosx +sinx} +c)e^x =−(1/2)(cosx +sinx) +ce^x
$$\mathrm{y}^{'} −\mathrm{y}\:=\mathrm{sinx} \\ $$$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{r}−\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{r}\:=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\mathrm{Ke}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{lagrange}\:\mathrm{method}\:\rightarrow\mathrm{y}^{'} \:=\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{ke}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{e}\Rightarrow\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{ke}^{\mathrm{x}} −\mathrm{ke}^{\mathrm{x}} \:=\mathrm{sinx}\:\Rightarrow\mathrm{k}^{'} \:=\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sinx}\:\Rightarrow\mathrm{k}\:=\int\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sinx}\:\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{Im}\left(\int\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}+\mathrm{ix}} \mathrm{dx}\right)\:=\mathrm{Im}\left(\int\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\right)\:\:\mathrm{but}\: \\ $$$$\int\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{1}+\mathrm{i}}\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\mathrm{x}} \:+\mathrm{c}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{i}}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{cosx}\:+\mathrm{sinx}\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}+\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left\{\mathrm{cosx}\:+\mathrm{isinx}\right\}\:=−\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\left\{\mathrm{cosx}+\mathrm{isinx}+\mathrm{icosx}−\mathrm{sinx}\right\}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{Im}\left(\int…\right)\:=−\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\left\{\mathrm{cosx}\:+\mathrm{sinx}\right\}\:\Rightarrow\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is} \\ $$$$\left(−\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\left\{\mathrm{cosx}\:+\mathrm{sinx}\right\}\:+\mathrm{c}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{cosx}\:+\mathrm{sinx}\right)\:+\mathrm{ce}^{\mathrm{x}} \\ $$

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