Question Number 170032 by Mastermind last updated on 14/May/22
$$\frac{\mathrm{8}^{{x}} −\mathrm{2}^{{x}} }{\mathrm{6}^{{x}} −\mathrm{3}^{{x}} }=\mathrm{2}\:,\:{find}\:{x}\:? \\ $$$$ \\ $$$${Mastermind} \\ $$
Commented by Mastermind last updated on 14/May/22
$${your}\:{solution}\:{please} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 14/May/22
$${x}=\mathrm{1} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 14/May/22
$$\frac{\mathrm{8}^{{x}} −\mathrm{2}^{{x}} }{\mathrm{6}^{{x}} −\mathrm{3}^{{x}} }=\mathrm{2}\:,\:{find}\:{x}\:? \\ $$$$\frac{\mathrm{2}^{{x}} \left(\mathrm{4}^{{x}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}^{{x}} \left(\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{1}\right)}=\mathrm{2} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}^{{x}} \left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}{x}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}^{{x}} \left(\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{1}\right)}=\mathrm{2} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}^{{x}} \cancel{\left(\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{1}\right)}\left(\mathrm{2}^{{x}} +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}^{{x}} \cancel{\left(\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{1}\right)}}=\mathrm{2}\:;\mathrm{2}^{{x}} \neq\mathrm{1}\Rightarrow{x}\neq\mathrm{0}^{\bigstar} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}^{{x}} \left(\mathrm{2}^{{x}} +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}^{{x}} }=\mathrm{2} \\ $$$${Assuming}\:{x}\:{a}\:{whole}\:{number} \\ $$$$\mathrm{2}^{{x}} \centerdot\frac{\mathrm{2}^{{x}} +\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{x}} }=\mathrm{2}=\mathrm{1}×\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{2}^{{x}} =\mathrm{1}\:\wedge\:\:\frac{\mathrm{2}^{{x}} +\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{x}} }=\mathrm{2}\right)\vee\left(\mathrm{2}^{{x}} =\mathrm{2}\:\wedge\:\frac{\mathrm{2}^{{x}} +\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{x}} }=\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}^{{x}} =\mathrm{2}^{\mathrm{0}} \:\wedge\:\:\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{0}} +\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{0}} }=\mathrm{2}\right)\vee\left(\mathrm{2}^{{x}} =\mathrm{2}^{\mathrm{1}} \:\wedge\:\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{1}} +\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{1}} }=\mathrm{1}\right) \\ $$$${x}\neq\mathrm{0}^{\bigstar} \: \\ $$$${Hence}\:{x}=\mathrm{1}\:\left({Only}\:{one}\:{solution}\:{in}\:{whole}\:{numbers}\right) \\ $$