Menu Close

0-2-1-x-3-x-2-2x-1-3-dx-

Tinku Tara 0 Comments
Pin




Question Number 134947 by bobhans last updated on 08/Mar/21
∫_0 ^( 2) ((√(1+x^3 )) + ((x^2 +2x))^(1/3) )dx ?
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{2}} \:\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:}\:+\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}}\:\right)\mathrm{dx}\:?\: \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 09/Mar/21
I=∫_0 ^( 2) ((√(1+x^3 )) + ((x^2 +2x))^(1/3) ) dx let f(x)=y= ((x^2 +2x))^(1/3) for x∈R and x≤−2 or x≥ 0 (x+1)^2 = y^3 +1 , x+1 = (√(y^3 +1)) x= (√(y^3 +1)) −1 , replace x by y and we get f^(−1) (x)=(√(x^3 +1))−1 so the integral becomes I=∫_0 ^( 2) (f^(−1) (x)+f(x)+1) dx observe the ∫_0 ^( 2) f^(−1) (x) dx . Let f^(−1) (x)=u →x = f(u) and dx = f ′(u) so ∫_0 ^( 2) u f ′(u) du = uf(u)∣_0 ^2 −∫_0 ^( 2) f(u) du. therefore I = 2f(2)+∫_0 ^( 2) dx = 2f(2)+2= 6
$$\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{2}} \left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:+\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}}\:\right)\:\mathrm{dx}\: \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{y}=\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}\in\mathbb{R}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}\leqslant−\mathrm{2}\:\mathrm{or}\:\mathrm{x}\geqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\:,\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\:=\:\sqrt{\mathrm{y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{x}=\:\sqrt{\mathrm{y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}\:−\mathrm{1}\:,\:\mathrm{replace}\:\mathrm{x}\:\mathrm{by}\:\mathrm{y}\:\mathrm{and}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}−\mathrm{1}\: \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{the}\:\mathrm{integral}\:\mathrm{becomes}\: \\ $$$$\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{1}\right)\:\mathrm{dx}\: \\ $$$$\mathrm{observe}\:\mathrm{the}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{2}} \mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{dx}\:.\:\mathrm{Let}\:\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{u} \\ $$$$\rightarrow\mathrm{x}\:=\:\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{dx}\:=\:\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{u}\right)\:\mathrm{so}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{2}} \mathrm{u}\:\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{u}\right)\:\mathrm{du} \\ $$$$=\:\mathrm{uf}\left(\mathrm{u}\right)\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{2}} \mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)\:\mathrm{du}. \\ $$$$\mathrm{therefore}\:\mathrm{I}\:=\:\mathrm{2f}\left(\mathrm{2}\right)+\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{2}} \mathrm{dx}\:=\:\mathrm{2f}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{2}=\:\mathrm{6} \\ $$$$ \\ $$

Pin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *