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Question Number 104895 by mathmax by abdo last updated on 24/Jul/20
1) decompose the fraction F(x) =(1/(x^3 (x+1)^4 )) 2) find the sumA = Σ_(n=1) ^∞ (1/(n^3 (n+1)^4 )) and B =Σ_(n=1) ^(∞ ) (((−1)^n )/(n^3 (n+1)^4 )) 3) what is the value of Σ_(n=0) ^∞ (1/((n+1)^4 (2n+1)^3 )) ?
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{the}\:\mathrm{fraction}\:\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sumA}\:=\:\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{B}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty\:} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right)\:\mathrm{what}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:? \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 25/Jul/20
1\ F(x)=(1/(x^3 (x+1)^4 ))=(a/(x+1))+(b/((x+1)^2 ))+(c/((x+1)^3 ))+(d/((x+1)^4 ))+((ex^2 +fx+g)/x^3 ) F(x)=((ax^3 (x+1)^3 +bx^3 (x+1)^2 +cx^3 (x+1)+dx^3 +(ex^2 +fx+g)(x+1)^4 )/(x^3 (x+1)^4 )) x→−1⇒d=−1, x→0⇒g=1, a+e=_x^6 0, 3a+b+4e+f=_x^5 0, 3a+2b+c+6e+4f+g=_x^4 0, a+b+c+d+4e+6f+4g=_x^3 0, e+4f+6g=_x^2 0, f+4g=_x 0⇒f=−4, e=10, a=−10, b=−6, c=−3 ⇒F(x)=((−10)/(x+1))+((−6)/((x+1)^2 ))+((−3)/((x+1)^3 ))+((−1)/((x+1)^4 ))+((10x^2 −4x+1)/x^3 )
$$\mathrm{1}\backslash\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{b}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{c}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{d}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }+\frac{\mathrm{ex}^{\mathrm{2}} +\mathrm{fx}+\mathrm{g}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{ax}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{bx}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{cx}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{dx}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{ex}^{\mathrm{2}} +\mathrm{fx}+\mathrm{g}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$\mathrm{x}\rightarrow−\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{d}=−\mathrm{1},\:\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{g}=\mathrm{1},\:\mathrm{a}+\mathrm{e}\underset{\mathrm{x}^{\mathrm{6}} } {=}\mathrm{0},\:\mathrm{3a}+\mathrm{b}+\mathrm{4e}+\mathrm{f}\underset{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} } {=}\mathrm{0}, \\ $$$$\:\mathrm{3a}+\mathrm{2b}+\mathrm{c}+\mathrm{6e}+\mathrm{4f}+\mathrm{g}\underset{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} } {=}\mathrm{0},\:\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}+\mathrm{4e}+\mathrm{6f}+\mathrm{4g}\underset{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} } {=}\mathrm{0}, \\ $$$$\mathrm{e}+\mathrm{4f}+\mathrm{6g}\underset{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } {=}\mathrm{0},\:\mathrm{f}+\mathrm{4g}\underset{\mathrm{x}} {=}\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{f}=−\mathrm{4},\:\mathrm{e}=\mathrm{10},\:\mathrm{a}=−\mathrm{10},\:\mathrm{b}=−\mathrm{6},\:\mathrm{c}=−\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{−\mathrm{10}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\frac{−\mathrm{6}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{−\mathrm{3}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }+\frac{−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }+\frac{\mathrm{10x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} } \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 25/Jul/20
1) F(x) =(1/(x^3 (x+1)^4 )) ⇒F(x) =Σ_(i=1) ^3 (a_i /x^i ) +Σ_(i=1) ^4 (b_i /((x+1)^i )) to find a_(i ) we determine D_2 (0) for f(x) =(1/((x+1)^4 )) =(x+1)^(−4) f(x) =f(0) +(x/(1!))f^′ (0) +(x^2 /(2!))f^((2)) (0) +(x^3 /(3!))ξ(x) f(0)=1 ,f^′ (x) =−4(x+1)^(−5) ⇒f^′ (0) =−4 f^((2)) (x) =20(x+1)^(−6) ⇒f^((2)) (0) =20 ⇒f(x) =1−4x +10x^2 +(x^3 /6)ξ(x) ⇒ ((f(x))/x^3 ) =(1/x^3 )−(4/x^2 ) +((10)/x) +(1/6)ξ(x) ⇒ a_1 =10 ,a_2 =−4 , a_3 =1 to find b_i we determine D_3 (−1) for g(x) =(1/x^3 ) =x^(−3) ⇒ g(x) =g(−1) +(x+1)g^′ (−1) +(((x+1)^2 )/2)g^((2)) (−1) +(((x+1)^3 )/6)g^((3)) (−1) +(((x+1)^4 )/(4!))ξ(x) g(−1) =−1 , g^′ (x) =−3x^(−4) ⇒g^′ (−1) =−3 g^((2)) (x) =12 x^(−5) ⇒g^((2)) (−1) =−12 , g^((3)) (x) =−60 x^(−6) ⇒g^((3)) (−1) =−60 ⇒g(x) =−1 −3(x+1)−6(x+1)^2 −10(x+1)^3 +(((x+1)^3 )/(3!))ξ(x) ⇒ ((g(x))/((x+1)^4 )) =−(1/((x+1)^4 ))−(3/((x+1)^3 ))−(6/((x+1)^2 ))−((10)/(x+1)) +(1/(4!))ξ(x) ⇒ b_1 =−10 ,b_2 =−6 , b_3 =−3 , b_4 =−1 ⇒ F(x) =((10)/x)−(4/x^2 ) +(1/x^3 )−((10)/(x+1))−(6/((x+1)^2 ))−(3/((x+1)^3 ))−(1/((x+1)^4 ))
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{i}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} \:\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{i}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{i}} }\:+\sum_{\mathrm{i}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\mathrm{b}_{\mathrm{i}} }{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{i}} } \\ $$$$\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{a}_{\mathrm{i}\:} \:\mathrm{we}\:\mathrm{determine}\:\mathrm{D}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0}\right)\:\mathrm{for}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }\:=\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)\:+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}!}\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}!}\mathrm{f}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{0}\right)\:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}!}\xi\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{1}\:\:,\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=−\mathrm{4}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{5}} \:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\:=−\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{f}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{20}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{6}} \:\Rightarrow\mathrm{f}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{0}\right)\:=\mathrm{20}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{1}−\mathrm{4x}\:+\mathrm{10x}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\xi\left(\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{x}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\xi\left(\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{10}\:,\mathrm{a}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{4}\:,\:\mathrm{a}_{\mathrm{3}} =\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{b}_{\mathrm{i}} \:\mathrm{we}\:\mathrm{determine}\:\mathrm{D}_{\mathrm{3}} \left(−\mathrm{1}\right)\:\mathrm{for}\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:=\mathrm{x}^{−\mathrm{3}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{g}\left(−\mathrm{1}\right)\:+\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{g}^{'} \left(−\mathrm{1}\right)\:+\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{g}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(−\mathrm{1}\right)\:+\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\mathrm{g}^{\left(\mathrm{3}\right)} \left(−\mathrm{1}\right)\:+\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }{\mathrm{4}!}\xi\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{g}\left(−\mathrm{1}\right)\:=−\mathrm{1}\:\:,\:\mathrm{g}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=−\mathrm{3x}^{−\mathrm{4}} \:\Rightarrow\mathrm{g}^{'} \left(−\mathrm{1}\right)\:=−\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{g}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{12}\:\mathrm{x}^{−\mathrm{5}} \:\Rightarrow\mathrm{g}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(−\mathrm{1}\right)\:=−\mathrm{12}\:\:,\:\:\mathrm{g}^{\left(\mathrm{3}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=−\mathrm{60}\:\mathrm{x}^{−\mathrm{6}} \:\Rightarrow\mathrm{g}^{\left(\mathrm{3}\right)} \left(−\mathrm{1}\right)\:=−\mathrm{60} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=−\mathrm{1}\:−\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{6}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{10}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \:+\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}!}\xi\left(\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }\:=−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }−\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{6}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}!}\xi\left(\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{b}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{10}\:,\mathrm{b}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{6}\:\:,\:\mathrm{b}_{\mathrm{3}} =−\mathrm{3}\:,\:\:\mathrm{b}_{\mathrm{4}} =−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{6}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 25/Jul/20
2) S =Σ_(n=1) ^∞ (1/(n^3 (n+1)^4 )) ⇒S=lim_(n→+∞) Σ_(k=1) ^n (1/(k^3 (k+1)^4 )) we have Σ_(k=1) ^n (1/(k^3 (k+1)^4 )) =10 Σ_(k=1) ^n (1/k)−4Σ_(k=1) ^n (1/k^2 ) +Σ_(k=1) ^n (1/k^3 )−10 Σ_(k=1) ^n (1/(k+1)) −6 Σ_(k=1) ^n (1/((k+1)^2 ))−3 Σ_(k=1) ^n (1/((k+1)^3 ))−Σ_(k=1) ^n (1/((k+1)^4 )) 10Σ_(k=1) ^n ((1/k)−(1/(k+1))) =10(1−(1/2)+(1/2)−(1/3)+....+(1/n)−(1/(n+1))) =10(1−(1/(n+1)))→10 Σ_(k=1) ^n (1/k^2 )→(π^2 /6) and Σ_(k=1) ^n (1/k^3 ) →ξ(3) Σ_(k=1) ^n (1/((k+1)^2 )) =Σ_(k=2) ^(n+1) (1/k^2 )→(π^2 /6)−1 and Σ_(k=1) ^n (1/((k+1)^3 )) =Σ_(k=2) ^(n+1) (1/k^3 )→ξ(3)−1 Σ_(k=1) ^n (1/((k+1)^4 )) =Σ_(k=2) ^(n+1) (1/k^4 ) →ξ(4)−1 ⇒ S =10−4×(π^2 /6) +ξ(3)−6((π^2 /6)−1)−3(ξ(3)−1)−(ξ(4)−1) ⇒ S =10−((2π^2 )/3) +ξ(3)−π^2 +6−3ξ(3)+3−ξ(4)+1 =20−((5π^2 )/3) −2ξ(3)−ξ(4)
$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{S}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }\:\Rightarrow\mathrm{S}=\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }\:=\mathrm{10}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}−\mathrm{4}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{10}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$−\mathrm{6}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\mathrm{3}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$\mathrm{10}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\right)\:=\mathrm{10}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+….+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\right)\:=\mathrm{10}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\right)\rightarrow\mathrm{10} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }\rightarrow\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:\:\mathrm{and}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} }\:\rightarrow\xi\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }\rightarrow\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}−\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} }\rightarrow\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}^{\mathrm{4}} }\:\rightarrow\xi\left(\mathrm{4}\right)−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}\:=\mathrm{10}−\mathrm{4}×\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:+\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{6}\left(\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{3}\left(\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{1}\right)−\left(\xi\left(\mathrm{4}\right)−\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}\:=\mathrm{10}−\frac{\mathrm{2}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}\:+\xi\left(\mathrm{3}\right)−\pi^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{6}−\mathrm{3}\xi\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{3}−\xi\left(\mathrm{4}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{20}−\frac{\mathrm{5}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}\:−\mathrm{2}\xi\left(\mathrm{3}\right)−\xi\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$$\: \\ $$$$ \\ $$

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