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y-2y-y-xe-x-sin-x-

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Question Number 105257 by bemath last updated on 27/Jul/20
y′′−2y′+y = xe^x sin x
$${y}''−\mathrm{2}{y}'+{y}\:=\:{xe}^{{x}} \mathrm{sin}\:{x}\: \\ $$
Answered by john santu last updated on 27/Jul/20
homogenous solution λ^2 −2λ+1 = 0 ⇒λ = 1;1 y_h = C_1 e^x +C_2 xe^x let y_1 = e^x →y′_1 =e^x y_2 = xe^x →y′_2 = e^x +xe^x W(y_1 ,y_2 ) = determinant (((e^x xe^x )),((e^x e^x +xe^x )))= e^(2x) u_1 = −∫((xe^x .(xe^x sin x))/e^(2x) ) dx u_1 =−∫ x^2 sin x dx u_1 =−{−x^2 cos x+2x sin x +2 cos x} u_1 =x^2 cos x −2x sin x −2cos x u_2 = ∫((e^x (xe^x sin x))/e^(2x) ) dx = ∫x sin x dx u_2 = −x cos x + sin x particular solution y_p = y_1 u_1 +y_2 u_2 y_p = e^x {x^2 cos x −2x sin x −2cos x} + xe^x {−xcos x + sin x } Y_p = x^2 e^x cos x−2xe^x sin x−2e^x cos x −x^2 e^x cos x+xe^x sin x Y_p = −xe^x sin x−2e^x cos x General solution Y_g = C_1 e^x +C_2 xe^x −xe^x sin x−2e^x cos x (JS ♠⧫)
$${homogenous}\:{solution} \\ $$$$\lambda^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\lambda+\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\lambda\:=\:\mathrm{1};\mathrm{1} \\ $$$${y}_{{h}} \:=\:{C}_{\mathrm{1}} {e}^{{x}} +{C}_{\mathrm{2}} {xe}^{{x}} \\ $$$${let}\:{y}_{\mathrm{1}} =\:{e}^{{x}} \rightarrow{y}'_{\mathrm{1}} ={e}^{{x}} \\ $$$${y}_{\mathrm{2}} =\:{xe}^{{x}} \rightarrow{y}'_{\mathrm{2}} =\:{e}^{{x}} +{xe}^{{x}} \: \\ $$$${W}\left({y}_{\mathrm{1}} ,{y}_{\mathrm{2}} \right)\:=\:\begin{vmatrix}{{e}^{{x}} \:\:\:\:\:{xe}^{{x}} }\\{{e}^{{x}} \:\:\:{e}^{{x}} +{xe}^{{x}} }\end{vmatrix}=\:{e}^{\mathrm{2}{x}} \\ $$$${u}_{\mathrm{1}} \:=\:−\int\frac{{xe}^{{x}} .\left({xe}^{{x}} \mathrm{sin}\:{x}\right)}{{e}^{\mathrm{2}{x}} }\:{dx}\: \\ $$$${u}_{\mathrm{1}} =−\int\:{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:{x}\:{dx}\: \\ $$$${u}_{\mathrm{1}} =−\left\{−{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\:{x}+\mathrm{2}{x}\:\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:{x}\right\} \\ $$$${u}_{\mathrm{1}} ={x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{cos}\:{x}\:−\mathrm{2}{x}\:\mathrm{sin}\:{x}\:−\mathrm{2cos}\:{x}\: \\ $$$${u}_{\mathrm{2}} =\:\int\frac{{e}^{{x}} \left({xe}^{{x}} \mathrm{sin}\:{x}\right)}{{e}^{\mathrm{2}{x}} }\:{dx}\:=\:\int{x}\:\mathrm{sin}\:{x}\:{dx} \\ $$$${u}_{\mathrm{2}} \:=\:−{x}\:\mathrm{cos}\:{x}\:+\:\mathrm{sin}\:{x}\: \\ $$$${particular}\:{solution} \\ $$$${y}_{{p}} \:=\:{y}_{\mathrm{1}} {u}_{\mathrm{1}} +{y}_{\mathrm{2}} {u}_{\mathrm{2}} \\ $$$${y}_{{p}} \:=\:{e}^{{x}} \left\{{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\:{x}\:−\mathrm{2}{x}\:\mathrm{sin}\:{x}\:−\mathrm{2cos}\:{x}\right\} \\ $$$$+\:{xe}^{{x}} \:\left\{−{x}\mathrm{cos}\:{x}\:+\:\mathrm{sin}\:{x}\:\right\} \\ $$$$\mathcal{Y}_{{p}} =\:{x}^{\mathrm{2}} {e}^{{x}} \mathrm{cos}\:{x}−\mathrm{2}{xe}^{{x}} \:\mathrm{sin}\:{x}−\mathrm{2}{e}^{{x}} \mathrm{cos}\:{x} \\ $$$$−{x}^{\mathrm{2}} {e}^{{x}} \mathrm{cos}\:{x}+{xe}^{{x}} \mathrm{sin}\:{x} \\ $$$$\mathcal{Y}_{{p}} \:=\:−{xe}^{{x}} \mathrm{sin}\:{x}−\mathrm{2}{e}^{{x}} \mathrm{cos}\:{x} \\ $$$$\mathcal{G}{eneral}\:{solution} \\ $$$$\mathcal{Y}_{{g}} =\:{C}_{\mathrm{1}} {e}^{{x}} +{C}_{\mathrm{2}} {xe}^{{x}} −{xe}^{{x}} \mathrm{sin}\:{x}−\mathrm{2}{e}^{{x}} \mathrm{cos}\:{x} \\ $$$$\left({JS}\:\spadesuit\blacklozenge\right) \\ $$
Commented by bemath last updated on 27/Jul/20
cooll
$${cooll} \\ $$$$ \\ $$
Answered by abdomathmax last updated on 27/Jul/20
h→r^2 −2r +1 =0 ⇒(r−1)^2 =0 ⇒r=1 ⇒ y =(ax +b)e^x =axe^(x ) +be^x =au_1 +bu_2 W(u_1 ,u_2 ) = determinant (((xe^x e^x )),(((x+1)e^x e^x )))=xe^(2x) −(x+1)e^(2x) =−e^(2x) ≠0 W_1 = determinant (((o e^x )),((xe^x sinx e^x )))=−xe^(2x) sinx W_2 = determinant (((xe^x 0)),(((x+1)e^x xe^x sinx)))=x^2 e^(2x) sinx v_1 =∫ (w_1 /w)dx =∫ ((−xe^(2x) sinx)/(−e^(2x) ))dx =∫ xsinx dx =−xcosx +∫ cosx dx =−xcosx +sinx v_2 =∫ (w_2 /w)dx =∫ ((x^2 e^(2x) sinx)/(−e^(2x) ))dx =−∫ x^2 sinx dx =−{ −x^2 cosx +∫ 2x cosx dx} =x^2 cosx−2 ∫ xcosx dx =x^2 cosx −2{ xsinx −∫ sinx dx} =x^2 cosx −2{xsinx +cosx} =(x^2 −2)cosx−2x sinx ⇒ y_p =u_1 v_(1 ) +u_2 v_2 =xe^x (−x cosx+sinx) +e^x { (x^2 −2)cosx −2xsinx} =−x^2 e^x cosx +xe^x sinx+(x^2 −2)e^(x ) cosx−2xe^x sinx =−2 e^x cosx −x e^x sinx the veneral solution is y =y_(h ) +y_p =axe^x +be^(x ) −2e^x cosx−xe^x sinx
$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2r}\:+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\left(\mathrm{r}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{r}=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\:=\left(\mathrm{ax}\:+\mathrm{b}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:=\mathrm{axe}^{\mathrm{x}\:} \:+\mathrm{be}^{\mathrm{x}} \:=\mathrm{au}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=\mathrm{xe}^{\mathrm{2x}} −\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} =−\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\\{\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \mathrm{sinx}\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{xe}^{\mathrm{2x}} \mathrm{sinx} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \mathrm{sinx}}\end{vmatrix}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\mathrm{sinx} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=\int\:\frac{−\mathrm{xe}^{\mathrm{2x}} \mathrm{sinx}}{−\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }\mathrm{dx}\:=\int\:\mathrm{xsinx}\:\mathrm{dx} \\ $$$$=−\mathrm{xcosx}\:+\int\:\mathrm{cosx}\:\mathrm{dx}\:=−\mathrm{xcosx}\:+\mathrm{sinx} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=\int\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \mathrm{sinx}}{−\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=−\int\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sinx}\:\mathrm{dx}\:=−\left\{\:−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{cosx}\:+\int\:\mathrm{2x}\:\mathrm{cosx}\:\mathrm{dx}\right\} \\ $$$$=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{cosx}−\mathrm{2}\:\int\:\:\mathrm{xcosx}\:\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{cosx}\:−\mathrm{2}\left\{\:\mathrm{xsinx}\:−\int\:\mathrm{sinx}\:\mathrm{dx}\right\} \\ $$$$=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{cosx}\:−\mathrm{2}\left\{\mathrm{xsinx}\:+\mathrm{cosx}\right\} \\ $$$$=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)\mathrm{cosx}−\mathrm{2x}\:\mathrm{sinx}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}\:} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \left(−\mathrm{x}\:\mathrm{cosx}+\mathrm{sinx}\right) \\ $$$$\:+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \left\{\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)\mathrm{cosx}\:−\mathrm{2xsinx}\right\} \\ $$$$=−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cosx}\:+\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sinx}+\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}\:} \mathrm{cosx}−\mathrm{2xe}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sinx} \\ $$$$=−\mathrm{2}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cosx}\:\:−\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sinx} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{veneral}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}\:} +\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \:=\mathrm{axe}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{\mathrm{x}\:} \:−\mathrm{2e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cosx}−\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sinx} \\ $$

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