Question Number 39783 by ajfour last updated on 10/Jul/18
$${Find}\:{roots}\:{of} \\ $$$${f}\left({x}\right)={x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{10}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{35}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{50}{x}+\mathrm{24} \\ $$
Answered by ajfour last updated on 10/Jul/18
$${let}\:{f}\left({x}\right)=\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+{A}\right)^{\mathrm{2}} −\left({Bx}+{C}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:=\:\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+{A}−{Bx}−{C}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+{Bx}+{C}\right) \\ $$$${if}\:{we}\:{set}\:{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:{A}^{\mathrm{2}} −{C}^{\:\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{24}\:=\:\mathrm{5}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}^{\mathrm{2}} \\ $$$${let}\:\:\:\:{A}\:=\:\mathrm{5}\:\:;\:{C}=\mathrm{1} \\ $$$${if}\:{we}\:{set}\:{x}=\mathrm{5}\:\:{then} \\ $$$$\:\:\:\left({A}−\mathrm{5}{B}−{C}\right)\left({A}+\mathrm{5}{B}+{C}\right)= \\ $$$$\:\:\mathrm{625}−\mathrm{1250}+\mathrm{875}−\mathrm{250}+\mathrm{24}\:=\mathrm{24} \\ $$$$\Rightarrow\:\:{A}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{5}{B}+{C}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{24} \\ $$$${or}\:\:\:\:\left(\mathrm{5}{B}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\:\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\:{B}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$${hence}\: \\ $$$${f}\left({x}\right)\:=\:\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+\mathrm{4}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+\mathrm{6}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{4}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right). \\ $$