k-1-k-2-0-8-k-1-

Question Number 105487 by Ar Brandon last updated on 29/Jul/20

$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0}.\mathrm{8}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 29/Jul/20

let find S(x) =Σ_(n=1) ^∞ n^2 x^(n−1) with ∣x∣<1 we have Σ_(n=0) ^∞ x^n =(1/(1−x)) ⇒Σ_(n=1) ^∞ nx^(n−1) =(1/((1−x)^2 )) ⇒ Σ_(n=1) ^∞ nx^n =(x/((1−x)^2 )) ⇒Σ_(n=1) ^∞ nx^(n−1) =(d/dx){(x/((x−1)^2 ))} =(((x−1)^2 −2(x−1)x)/((x−1)^4 )) =((x−1−2x)/((x−1)^3 )) =((−x−1)/((x−1)^3 )) =((x+1)/((1−x)^3 )) ⇒S(x) =((x+1)/((1−x)^3 )) ⇒ Σ_(n=1) ^∞ n^2 (0,8)^(n−1) =Σ_(n=1) ^∞ n^2 ((4/5))^(n−1) =S((4/5)) =(((4/5)+1)/((1−(4/5))^3 )) =(9/5)×5^3 =25×9 =225

$$\mathrm{let}\:\mathrm{find}\:\mathrm{S}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\:\:\mathrm{with}\:\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{nx}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{nx}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{nx}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left\{\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right\} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }\:=\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}−\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\frac{−\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{S}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0},\mathrm{8}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\mathrm{S}\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}\right)\:=\frac{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{5}}×\mathrm{5}^{\mathrm{3}} \:=\mathrm{25}×\mathrm{9}\:=\mathrm{225} \\ $$

Commented by Ar Brandon last updated on 29/Jul/20

Thanks

Commented by mathmax by abdo last updated on 29/Jul/20

$$\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome}. \\ $$

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