Question Number 105738 by bobhans last updated on 31/Jul/20
$$\left({x}\:\mathrm{tan}\:\left(\frac{{y}}{{x}}\right)−{y}\:\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{{y}}{{x}}\right)\right)\:{dx}−{x}\:\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{{y}}{{x}}\right){dy}=\mathrm{0} \\ $$
Answered by john santu last updated on 01/Aug/20
$${set}\:\frac{{y}}{{x}}\:=\:\vartheta\:\Rightarrow{y}=\vartheta{x} \\ $$$$\frac{{dy}}{{dx}}\:=\:\vartheta\:+\:{x}\:\frac{{d}\vartheta}{{dx}} \\ $$$$\left({x}\:\mathrm{tan}\:\vartheta−\vartheta{x}\:\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \vartheta\right){dx}\:=\:{x}\:\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \vartheta{dy} \\ $$$$\frac{{dy}}{{dx}}\:=\:\frac{{x}\mathrm{tan}\:\vartheta−{vx}\:\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \:\vartheta}{{x}\:\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \vartheta} \\ $$$$\vartheta+{x}\:\frac{{d}\vartheta}{{dx}}\:=\:\mathrm{sin}\:\vartheta\:\mathrm{cos}\:\vartheta−\vartheta\: \\ $$$${x}\:\frac{{d}\vartheta}{{dx}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\vartheta−\mathrm{2}\vartheta\: \\ $$$$\frac{\mathrm{2}\:{d}\vartheta}{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\vartheta−\mathrm{4}\vartheta}\:=\:\frac{{dx}}{{x}} \\ $$