Question Number 40510 by KMA last updated on 23/Jul/18
$${Given}\:{that}\:{ax}+{b}\:{is}\:{a}\:{factor}\:{of}\:{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\:{and}\:−{a}\:{is}\:{a}\:{root}\:{of}\:{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x} \\ $$$$−\mathrm{1}=\mathrm{0}\:{show}\:{that}\:{the}\:{value}\:{of}\:{b}\:{is} \\ $$$$−\mathrm{1}\:{or}\:\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}\:.} \\ $$
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 23/Jul/18
$${put}\:{x}=\frac{−{b}}{{a}}\:{in}\:{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\:{then}\:{R}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\frac{−{b}}{{a}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left(\frac{−{b}}{{a}}\right)−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{ab}−{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$${b}=\frac{−\left(−\mathrm{2}{a}\right)\pm\sqrt{\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} }\:}{\mathrm{2}} \\ $$$${b}={a}\pm.{a}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$${put}\:{x}=\left(−{a}\right)\:{in}\:{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{a}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${a}=\frac{\mathrm{2}\pm\sqrt{\mathrm{4}+\mathrm{4}}\:}{\mathrm{2}}=\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$${b}={a}+{a}\sqrt{\mathrm{2}}\:\:\:\:{and}\:{a}−{a}\sqrt{\mathrm{2}}\: \\ $$$${b}=\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:+\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)=\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\: \\ $$$${b}=\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\:+\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)=\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\:+\sqrt{\mathrm{2}}\:−\mathrm{2}=−\mathrm{1} \\ $$